结论：建设银行信用卡欠款4万，若逾期超过一定时间且经银行多次催收仍未还款，银行是有权起诉的。不过，是否会实际起诉以及起诉后的具体法律后果，需结合欠款时间、还款态度、是否存在恶意透支等因素综合判断。以下从不同角度为你详细分析：
一、银行起诉的可能性与条件
银行的权利：
- 作为债权人，银行在持卡人未能按时还款时，依法享有通过法律途径追讨欠款的权利。欠款4万已达到银行考虑采取法律行动的基本条件。
逾期时间与催收情况：
- 通常，逾期1-3个月内，银行会主要通过电话、短信等方式催收。若逾期超过3个月，且经多次催收无果，银行起诉的可能性会大幅增加。
- 持卡人的还款态度对银行是否起诉有重要影响。若持卡人态度恶劣，拒绝沟通或故意躲避催收，银行会认为其有恶意拖欠的嫌疑，从而更倾向于通过起诉来解决问题。
二、被起诉后的法律后果
民事诉讼：
- 若银行选择民事诉讼，法院将根据实际情况作出判决，要求持卡人偿还欠款本金、利息、滞纳金等费用。
- 若持卡人拒不履行判决，银行可以向法院申请强制执行，包括查询、冻结、划拨银行存款，以及查封、扣押、拍卖其他财产等措施。
刑事诉讼（特定条件下）：
- 根据《中华人民共和国刑法》第一百九十六条的规定，恶意透支信用卡且数额较大的行为可能构成信用卡诈骗罪。
- “恶意透支”是指持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或规定期限透支，并经发卡银行两次催收后超过三个月仍不归还的行为。
- 恶意透支数额在五万元以上不满五十万元的，应认定为“数额较大”。虽然欠款本金4万未达到此标准，但若加上利息、复利、滞纳金、手续费等费用后总额达到五万元以上，持卡人即可能面临刑事诉讼风险。
- 一旦被认定构成信用卡诈骗罪，持卡人将承担相应的刑事责任，可能会被判处有期徒刑或者拘役，并处罚金。
三、建议与防范措施
积极沟通：
- 若确实遇到困难无法按时还款，应主动与银行沟通，寻求延期还款或分期还款的解决方案。
- 展现还款意愿，并尝试按协商方案还款，有助于降低被起诉的风险。
了解法律后果：
- 增强法律意识，了解信用卡使用的相关法律法规和后果，避免因无知而触犯法律。
- 特别是要了解恶意透支的法律定义和后果，避免因疏忽而陷入法律困境。
尽快还款：
- 最好还是按约定还款，避免不必要的法律麻烦和信用损失。
- 若已逾期，应尽快制定还款计划并付诸实施，以减轻经济压力并避免法律纠纷。
示例说明：假设你因突发情况导致信用卡逾期4万，且已逾期超过3个月。此时，银行已多次催收但无果。若你继续逃避催收、拒绝沟通或无还款意愿，银行很可能会选择通过法律途径追讨欠款。一旦银行起诉并胜诉，你将面临强制执行、财产查封等法律后果。若你的行为被认定为恶意透支且数额较大，还可能构成信用卡诈骗罪并承担刑事责任。
总结：建设银行信用卡欠款4万存在被起诉的风险。为避免不必要的法律后果和信用损失，建议你尽快与银行协商并制定合理的还款计划。同时，增强法律意识、了解相关法律法规和后果也是非常重要的。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。