结论前置：偷东西被拘留15天，若该拘留为行政拘留，则不会留下传统意义上的“案底”，但会在公安机关留下违法记录；若该拘留后续转化为刑事拘留且经法院审判被认定有罪，则会留下犯罪记录，即“案底”。
一、拘留性质判断
首先，我们需要明确拘留的性质。偷东西被拘留15天，这一拘留措施很可能是行政拘留。行政拘留是公安机关依法对违反治安管理或行政管理秩序的公民采取的一种限制其人身自由的惩罚措施。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，盗窃公私财物的，处五日以上十日以下拘留，并可处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，并可处一千元以下罚款。因此，偷东西被处15天拘留，大概率是依据此法规作出的行政拘留处罚。
二、行政拘留与案底的关系
行政拘留的性质：行政拘留是一种行政处罚手段，主要针对严重违反治安管理但不构成犯罪的行为人。它是一种短期内限制人身自由的处罚措施，不属于刑事处罚范畴。
行政拘留的记录：虽然行政拘留的记录会保存在公安机关的档案系统内，但这并不等同于我们通常所说的“案底”。“案底”一般指的是有犯罪记录，即经法院审判被认定有罪并判处相应刑罚的记录。行政拘留不会进入个人的犯罪记录档案，因此，在通常意义上，它不会留下“案底”。
对个人的影响：尽管行政拘留不会留下“案底”，但这种记录会在公安机关的治安部门留存。对于再次因违反治安管理法规而被处罚的情况，处罚可能会更重。此外，在某些特定情况下（如就业、出国等），这种行政拘留的记录也可能对个人产生一定影响。
三、刑事拘留与案底的关系
如果偷东西的行为情节严重，构成了犯罪，那么公安机关可能会采取刑事拘留措施。刑事拘留是刑事诉讼中的保障性措施，针对可能判处徒刑以上刑罚的现行犯或重大嫌疑分子。然而，仅仅被刑事拘留并不意味着一定会留下案底。如果在后续侦查过程中，公安机关撤销案件，或者人民检察院作出不起诉决定，或者法院经审判宣告无罪，那么就不会留下犯罪记录。但如果经法院审判最终被认定构成盗窃罪，就会留下案底，即犯罪记录。
四、实际影响与建议
实际影响：行政拘留虽然不会留下“案底”，但违法记录的存在仍然可能对个人在某些方面的生活和工作产生不利影响。特别是在需要政审或背景调查的情况下，如报考特殊岗位公务员、参军等，这种记录可能会被查阅和考虑。
建议：请务必遵守法律法规，避免任何违法行为的发生。一旦不慎涉及违法行为，应积极配合公安机关的调查处理，并深刻反省，以免再次犯错。同时，如果对自己的行为是否构成犯罪有疑问，或者已经面临法律纠纷，建议及时向我咨询，以便获得专业的法律帮助。
综上所述，偷东西被拘留15天是否会留下案底，取决于拘留的性质以及后续的法律程序。如果是行政拘留，通常不会留下案底；但如果是刑事拘留且最终被判有罪，则会留下犯罪记录。在任何情况下，遵守法律法规都是最重要的。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。