结论：偷手机被拘留15天，若该拘留为行政拘留，则不会留下传统意义上的“案底”，但会在公安机关留下违法记录；若该拘留为刑事拘留且后续经法院审判被认定有罪，则会留下犯罪记录，即“案底”。
详细分析
一、拘留性质判断
行政拘留：
- 定义：行政拘留是公安机关依法对违反治安管理或行政管理秩序的公民采取的一种限制其人身自由的惩罚措施。
- 适用情形：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十九条，盗窃公私财物的，处五日以上十日以下拘留，并可处五百元以下罚款；情节较重的，处十日以上十五日以下拘留，并可处一千元以下罚款。因此，偷手机被处15天拘留，大概率是依据此法规作出的行政拘留处罚。
- 影响：行政拘留不会留下刑事案底，但会在公安机关的档案中留下违法记录。这些记录可能在特定情况下（如再次违法、报考特殊岗位公务员、参军等）被查阅和考虑，对个人产生一定影响。
刑事拘留：
- 定义：刑事拘留是公安机关、人民检察院对直接受理的案件，在侦查过程中，遇到法定的紧急情况时，对于现行犯或者重大嫌疑分子所采取的临时剥夺其人身自由的强制方法。
- 适用情形：如果偷手机的行为涉嫌盗窃罪，且符合刑事拘留的条件，公安机关可能会对其采取刑事拘留措施。
- 影响：仅仅被刑事拘留十五天，并不意味着一定会留下案底。如果在后续侦查过程中，公安机关撤销案件，或者人民检察院作出不起诉决定，或者法院经审判宣告无罪，那么就不会留下犯罪记录。但如果经法院审判最终被认定构成盗窃罪，就会留下案底，即犯罪记录。
二、案底与违法记录的区别
刑事案底：
- 定义：通常是指某人过去犯罪行为的记录，又称犯罪人员犯罪记录制度，一般存放于公安部门与相关国家机关。
- 特点：仅针对触犯刑法并被法院判定有罪的情况，行政拘留不属于刑事处罚，故不会留下刑事案底。
违法记录：
- 定义：指违反治安管理或行政管理秩序的行为记录。
- 影响：虽然行政拘留不会留下刑事案底，但它会在公安机关的档案中留下违法记录。这些记录可能在特定情况下对个人产生影响。
三、实际影响与建议
实际影响：
- 行政拘留的违法记录虽然不会在个人的犯罪记录中留下污点，但可能在需要政审或背景调查的情况下被查阅和考虑，对个人产生一定影响。
- 如果偷手机的行为最终被认定为犯罪并留下案底，那么对个人的影响将更为深远，包括但不限于就业、升学、出国等方面的限制。
建议：
- 请务必遵守法律法规，避免任何违法行为的发生。一旦不慎涉及违法行为，应积极配合公安机关的调查处理，并深刻反省，以免再次犯错。
- 如果对拘留性质或后续法律程序有疑问，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。
综上所述，偷手机被拘留15天是否会留下案底，取决于拘留的性质以及后续的法律程序。如果是行政拘留，通常不会留下案底；但如果是刑事拘留且最终被判有罪，则会留下犯罪记录。在任何情况下，遵守法律法规都是最重要的。