结论：固定期限合同和无固定期限合同在公司无故解雇员工时的赔偿情况，本质上遵循相同的法律原则，即合法解雇与违法解雇的赔偿标准一致，但无固定期限合同员工因工作年限通常较长，在违法解雇时可能获得更高赔偿金。以下从不同角度详细分析：
一、合法解雇情形下的赔偿
相同点：
- 无论是固定期限合同还是无固定期限合同，如果公司因法定原因（如员工严重违反规章制度、不能胜任工作等）合法解雇员工，均需按照《劳动合同法》的规定支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算标准相同，均按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。月工资指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
举例：
- 假设一名员工签订的是固定期限合同，工作3年后因不能胜任工作被合法解雇，公司应支付3个月工资的经济补偿金。
- 另一名员工签订的是无固定期限合同，工作8年后因严重违反公司规章制度被合法解雇，公司同样应支付8个月工资的经济补偿金（但需注意，若因员工过错解雇，部分情况下可能无需支付经济补偿，此例仅为说明计算方式）。
二、违法解雇情形下的赔偿
相同点：
- 如果公司无故解雇员工，即违法解雇，无论员工签订的是固定期限合同还是无固定期限合同，公司均需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
不同点：
- 由于无固定期限合同员工的工作年限通常较长，因此在违法解雇时，其可能获得的赔偿金金额会更高。
举例：
- 假设一名员工签订的是固定期限合同，工作2年后被公司无故解雇，公司应支付4个月工资的赔偿金（2个月经济补偿金的二倍）。
- 另一名员工签订的是无固定期限合同，工作10年后被公司无故解雇，公司则应支付20个月工资的赔偿金（10个月经济补偿金的二倍）。
三、特殊情况的赔偿限制
月工资高于当地平均工资三倍：
- 若劳动者月工资超过当地职工月平均工资的三倍，经济补偿或赔偿金的标准将按此三倍的数额支付，且最高支付年限不超过十二年。这一规定同样适用于固定期限合同和无固定期限合同。
工作年限超过12年：
- 对于工作年限超过12年的劳动者，若是合法解雇（如因劳动者过错），则无需支付经济补偿；若是无过错性辞退或经济性裁员，经济补偿受月工资三倍和12年年限的限制；若是违法解雇，则不受12年年限限制，仍需按双倍经济补偿标准支付赔偿金。这一规定也适用于两种合同类型。
四、其他注意事项
工资计算标准：
- 经济补偿或赔偿金中的“月工资”指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包括基本工资、奖金、津贴等货币性收入。这一规定对两种合同类型均适用。
维权途径：
- 劳动者对解雇赔偿有异议时，应先与用人单位协商；协商不成可向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，以法律手段维护自身权益。这一建议同样适用于两种合同类型的员工。
总结与建议：固定期限合同和无固定期限合同在公司无故解雇员工时的赔偿情况，在本质上遵循相同的法律原则。然而，由于无固定期限合同员工的工作年限通常较长，因此在违法解雇时可能获得更高的赔偿金。作为员工，应了解自己的合同类型及相应的权益保护措施；作为公司，应严格遵守法律法规，确保解雇行为的合法性，避免不必要的法律风险和经济损失。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。