针对您提出的“公司寄邮件解除劳动关系是否合法，以及能否办理失业保险”的问题，我将结合相关法律法规为您进行详细解答。
首先，关于公司寄邮件解除劳动关系是否合法的问题，这主要取决于邮件内容以及公司解除劳动关系的具体原因和程序。如果公司是因为您存在严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊等行为，且这些行为在公司的规章制度或劳动合同中有明确规定，同时公司已经按照法定程序进行了调查和处理，那么公司通过邮件方式解除劳动关系可能是合法的。然而，如果公司没有合法依据或未按照法定程序解除劳动关系，那么这种解除方式可能是不合法的。
接下来，我们重点讨论能否办理失业保险的问题。根据《中华人民共和国劳动合同法》以及失业保险的相关规定，要申领失业保险金，需要满足以下条件：
非因本人意愿中断就业：这意味着您不是主动辞职，而是由于公司的原因（如拖欠工资、违法解除劳动关系等）导致您失去了工作。如果公司是通过合法程序解除与您的劳动关系，且这种解除并非出于您的个人意愿，那么您就符合这一条件。
参加失业保险且缴费满1年：您需要在失业前已经参加了失业保险，并且累计缴费时间满1年。这是申领失业保险金的基本前提。
已进行失业登记并有求职要求：在失业后，您需要到当地的公共就业服务机构进行失业登记，并表明自己有求职的意愿。这是为了确保失业保险金能够真正用于帮助那些需要找工作的人。
现在，我们回到您的问题本身。如果公司是通过合法程序解除与您的劳动关系，且这种解除并非出于您的个人意愿，同时您也满足了参加失业保险且缴费满1年、已进行失业登记并有求职要求的条件，那么您是可以申领失业保险金的。
至于公司寄邮件解除劳动关系这一方式本身，并不直接影响您申领失业保险金的资格。关键在于解除劳动关系的原因是否合法、是否符合非因本人意愿中断就业的条件，以及您是否满足了其他申领失业保险金的条件。
因此，我建议您在收到公司解除劳动关系的邮件后，首先确认解除的原因和程序是否合法。如果存在疑问或争议，您可以咨询当地的劳动仲裁机构或律师以获取更专业的法律意见。同时，如果您符合申领失业保险金的条件，不要忘记及时到当地的公共就业服务机构进行失业登记并申请失业保险金。