结论：公司第一次辞退试用期员工后再招聘又辞退是否需要赔偿，需根据辞退的具体原因和程序来判断。若公司辞退行为违法，则需要赔偿；若合法，则无需赔偿。以下从不同角度详细分析：

一、违法辞退的情况及赔偿

1. 违法辞退的定义：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在试用期解除劳动合同，必须证明劳动者不符合录用条件，且需提前告知劳动者并说明理由。若用人单位无法证明劳动者不符合录用条件，或未提前告知并说明理由，则构成违法辞退。

2. 赔偿标准：

   • 若公司违法辞退试用期员工，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
   • 经济补偿标准通常按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。由于试用期员工工作年限通常较短，因此赔偿金可能相对较低，但具体数额需根据实际情况计算。
   • 计算公式：赔偿金 = 经济补偿标准 × 2 = （工作年限 × 月工资）× 2（若工作年限不满六个月，则月工资按半个月计算后再乘以2）。

3. 举例说明：

   • 假设试用期员工小李在公司工作了3个月，月工资为5000元。若公司违法辞退小李，则需支付赔偿金为：（0.5个月 × 5000元）× 2 = 5000元。

二、合法辞退的情况及无需赔偿

1. 合法辞退的定义：

   • 若公司能够证明试用期员工不符合录用条件，且已提前告知并说明理由，则辞退行为合法，无需支付赔偿金。

2. 无需赔偿的理由：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在试用期有权解除劳动合同，但需满足特定条件。若满足这些条件，则辞退行为合法，无需承担赔偿责任。

3. 举例说明：

   • 假设试用期员工小张在公司工作了1个月，但未能通过公司设定的专业技能测试，且公司已提前告知小张测试标准和未通过测试的后果。在此情况下，公司辞退小张属于合法辞退，无需支付赔偿金。

三、特殊情况及建议

1. 多次辞退的影响：

   • 无论公司是第一次还是第二次辞退试用期员工，关键在于辞退行为是否合法。若两次辞退均合法，则公司均无需支付赔偿金；若其中一次或两次均违法，则公司需承担相应的赔偿责任。

2. 员工应对策略：

   • 若员工认为公司辞退行为违法，可收集相关证据（如劳动合同、辞退通知、工作表现记录等）并向当地劳动仲裁机构申请仲裁，以维护自身合法权益。

3. 公司合规建议：

   • 为避免违法辞退的风险，公司应制定明确的录用条件和考核标准，并在试用期对员工进行全面、客观的评估。同时，在辞退员工时，应确保程序合法、理由充分，并提前告知员工并说明理由。

总结：公司第一次辞退试用期员工后再招聘又辞退是否需要赔偿，需根据辞退的具体原因和程序来判断。若您或您身边的人遇到类似情况，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更详细的法律建议。