结论：公司不批准员工请假并硬逼员工辞职的行为是违法的，员工有权拒绝并可以通过法律途径维护自己的合法权益。
法律背景与建议：
请假权利：
- 根据《中华人民共和国劳动法》及相关规定，员工享有合理的请假权利。当员工因家庭事务等合理原因需要请假时，公司应当根据实际情况予以批准，除非该请假会严重影响公司的正常运营且无法通过其他方式解决。
- 在此情况下，员工已经明确提出了请假六天的需求，公司应当进行合理评估并给出答复，而不是直接拒绝并逼迫员工辞职。
辞职的合法性：
- 辞职是员工的权利，但必须是员工自愿的行为。公司不能通过威胁、逼迫等手段迫使员工辞职。
- 如果公司逼迫员工辞职，员工可以拒绝并要求公司继续履行劳动合同。同时，员工还可以向劳动监察部门投诉公司的违法行为。
法律后果：
- 如果公司违法逼迫员工辞职，员工有权要求公司支付经济补偿金（如果符合法定条件）或赔偿金（如果公司行为构成违法解除劳动合同）。
- 经济补偿金的具体数额根据员工在公司的工作年限、工资水平等因素确定。赔偿金则通常为经济补偿金的两倍（在违法解除劳动合同的情况下）。
应对措施：
- 与公司协商：首先，员工可以尝试与公司进行协商，说明自己的情况和请假需求，争取公司的理解和支持。
- 收集证据：如果公司坚持逼迫员工辞职，员工应当收集相关证据，如请假申请、公司拒绝批准的回复、逼迫辞职的聊天记录或录音等。
- 向劳动监察部门投诉：员工可以向当地的劳动监察部门投诉公司的违法行为，要求劳动监察部门介入调查并处理。
- 申请劳动仲裁：如果投诉无果或公司行为严重侵害了员工的权益，员工可以向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司承担相应的法律责任。
进一步思考：
- 在处理此类纠纷时，员工应当保持冷静和理性，避免与公司发生不必要的冲突和争执。
- 员工应当及时了解自己的权益和法律途径，以便在必要时能够迅速采取行动维护自己的合法权益。
- 如果员工对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到保障，可以寻求专业律师的帮助和指导。
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