您可主张的补偿包括未签书面劳动合同的二倍工资差额、违法解除劳动合同的赔偿金，同时可要求用人单位补缴社保。具体分析如下：

1. 未签书面劳动合同的二倍工资差额
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您在美容院工作一年零十个月，可主张从第二个月起至第十二个月（共11个月）的二倍工资差额。需注意，该请求的仲裁时效为一年，自您知道或应当知道权利被侵害之日起计算，建议尽快主张。

2. 违法解除劳动合同的赔偿金
   若美容院无法证明解除劳动合同的合法性（如您存在严重违纪、不能胜任工作等法定情形），则构成违法解除。根据《劳动合同法》第四十八条、第八十七条，您可主张赔偿金，标准为经济补偿金的二倍。经济补偿金按工作年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算。您工作一年零十个月，可主张2个月工资的经济补偿金，进而主张4个月工资的赔偿金（2×2）。

3. 补缴社保的请求
   根据《社会保险法》第五十八条、第六十三条，用人单位未依法为劳动者缴纳社会保险费的，劳动者可要求补缴。您可向当地社保部门投诉，由社保部门责令美容院补缴社保费用（包括单位应承担部分和个人应承担部分）。需注意，社保补缴可能涉及滞纳金或罚款，由用人单位承担。

行动建议：

1. 收集证据：包括工资流水、工作证、考勤记录、同事证言等，证明劳动关系及工作年限；
   
2. 协商解决：可先与美容院协商，要求支付补偿并补缴社保；
   
3. 申请仲裁：若协商无果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张上述补偿；
   
4. 投诉社保：同时向当地社保部门投诉，要求补缴社保。
   

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