结论：在提审过程中，如果民警与案件存在利害关系，那么该民警应当回避，以确保案件的公正处理和审判的独立性。
一、回避的法律依据与情形
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关法律规定，民警在以下情形中应当回避：
是本案的当事人或者是当事人的近亲属：如果民警是本案的被害人、犯罪嫌疑人、被告人等当事人，或者与当事人有近亲属关系（如夫、妻、父、母、子、女、同胞兄弟姊妹），那么该民警应当回避。这是因为这些关系可能导致民警在办案过程中难以保持中立，从而影响案件的公正处理。
本人或者他的近亲属和本案有利害关系：如果民警或其近亲属与案件有经济利益、名誉利益或其他利害关系，可能使民警在办案过程中产生偏见或倾向性，那么该民警也应当回避。例如，如果民警是案件中某财产的所有者或受益者，或者其近亲属与案件有直接的利害关系，都可能影响民警的公正判断。
与本案当事人有其他关系，可能影响公正处理案件的：这是一个兜底条款，涵盖了除上述明确规定的情形外，民警与案件当事人存在的其他可能影响案件公正处理的关系，如朋友、同学、师生等特殊关系。在这些情况下，民警也可能需要回避，以避免因个人关系而影响案件的公正性。
二、回避的申请与审查
申请主体：在提审过程中，如果发现民警存在上述回避情形，当事人及其法定代理人有权要求民警回避。同时，民警自己也应当自觉提出回避申请，以维护案件的公正性和自己的职业操守。
审查程序：法院或相关司法机关会对回避申请进行审查，并根据实际情况作出是否准许的决定。如果回避申请被准许，该民警将不得再参与本案的审理工作或相关执法活动。这一审查程序确保了回避制度的严格执行，防止了因个人关系或利益而影响案件公正性的情况发生。
三、违规行为的处理与后果
如果民警在执法过程中违反规定，未回避与案件有利害关系的情形，可能面临以下处理与后果：
纪律处分：根据公安机关的内部规定，民警可能因违反回避制度而受到纪律处分，如警告、记过、降级等。
影响案件公正性：如果民警未回避而继续参与案件审理或执法活动，其个人关系或利益可能影响案件的公正性，导致案件处理结果的不公正。这不仅损害了当事人的合法权益，也影响了司法机关的公信力和权威性。
法律责任：在极端情况下，如果民警的违规行为构成犯罪（如受贿、徇私枉法等），还可能面临刑事责任的追究。
四、建议与提醒
当事人角度：如果你在提审过程中发现民警与案件存在利害关系，应当及时向法院或相关司法机关提出回避申请，以维护自己的合法权益和案件的公正性。
民警角度：作为执法者，民警应当自觉遵守回避制度，避免因个人关系或利益而影响案件的公正处理。如果发现自己与案件存在利害关系，应当及时提出回避申请，以维护自己的职业操守和司法机关的公信力。
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