结论：员工当天提离职当天走，公司扣除一个月工资的行为通常是不合法的。以下从多个角度进行分析：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动法》第五十条，工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人，不得克扣或者无故拖欠劳动者的工资。这一条款明确规定了工资支付的基本原则，即公司不得随意克扣员工工资。
- 同时，《中华人民共和国劳动合同法》第三十七条规定，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。这意味着，除非劳动合同中有特别约定，否则员工有权在提前通知后解除劳动合同，而公司不得因此克扣工资。
公司扣除工资的合法性分析：
- 公司扣除员工一个月工资的行为，缺乏明确的法律依据。除非员工的行为给公司造成了重大经济损失，且这种损失与员工的离职行为有直接因果关系，同时公司能够证明这一点，并按照法律规定和劳动合同约定进行扣除（如每月扣除的部分不得超过劳动者当月工资的20%，且扣除后的剩余工资部分不得低于当地月最低工资标准），否则这种扣除行为是不合法的。
- 在员工当天提离职当天走的情况下，除非公司能证明员工的这一行为直接导致了重大经济损失，并且这种损失无法通过其他方式弥补，否则公司无权扣除员工一个月工资。
员工的权益保护：
- 如果公司非法扣除了员工的工资，员工有权向劳动行政部门投诉，要求公司支付被扣除的工资报酬、经济补偿，并可以要求支付赔偿金。
- 员工还可以通过劳动争议仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。
特殊情况下的考虑：
- 如果劳动合同中有特别约定，比如员工在离职时需要提前一定时间通知公司，否则将承担一定的违约责任或赔偿公司损失，那么员工在违反这一约定时可能需要承担一定的责任。但即便如此，公司扣除工资的金额和方式也必须符合法律规定和劳动合同约定，不能随意扣除。
建议：
- 对于员工而言，在离职时应尽量遵守劳动合同和公司规章制度的规定，提前通知公司并办理好离职手续，以避免不必要的纠纷。
- 如果公司非法扣除了工资，员工应保留好相关证据（如工资条、劳动合同、离职通知等），并及时向劳动行政部门投诉或寻求法律帮助。
示例：
假设某员工与公司签订的劳动合同中规定，员工离职需提前一个月通知公司。但该员工因个人原因当天提离职当天走，公司因此扣除了其一个月工资。在这种情况下，除非公司能证明员工的这一行为直接导致了重大经济损失，并且这种损失无法通过其他方式弥补，否则公司的扣除行为是不合法的。员工可以向劳动行政部门投诉，要求公司支付被扣除的工资报酬、经济补偿，并可以要求支付赔偿金。