关于工厂快速批准员工离职的理由，这主要取决于劳动合同法的相关规定以及工厂内部的规章制度。以下是一些可能促使工厂快速批准离职的合法理由：
一、员工主动提出离职并符合法定程序
试用期离职：根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同。如果员工处于试用期，并且提前三日通知了工厂，那么工厂在确认无误后，通常会快速批准离职。
正式员工离职：同样根据《劳动合同法》第三十七条，正式员工提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。如果员工按照这一程序提前通知了工厂，并且没有造成工厂损失，工厂在到期后应直接办理离职手续。
二、工厂因员工原因解除劳动合同
不符合录用条件：根据《劳动法》第二十五条和《劳动合同法》第三十九条，如果员工在试用期间被证明不符合录用条件，工厂可以解除劳动合同。这种情况下，工厂通常会快速处理离职手续。但需要注意的是，工厂必须有充分的证据证明员工不符合录用条件，如工作职能描述、员工表现记录等。
严重违反规章制度：如果员工严重违反工厂的规章制度，如旷工、偷窃、打架斗殴等，工厂可以根据《劳动合同法》第三十九条解除劳动合同。这种情况下，工厂也会快速批准离职。
严重失职或营私舞弊：如果员工因严重失职或营私舞弊给工厂造成重大损害，工厂同样可以根据《劳动合同法》第三十九条解除劳动合同，并快速批准离职。
三、工厂因特殊情况解除劳动合同
员工患病或非因工负伤：根据《劳动合同法》第四十条，如果员工患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由工厂另行安排的工作，工厂可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付一个月工资后解除劳动合同。虽然这种情况下工厂需要提前通知或支付额外工资，但一旦决定解除劳动合同，离职手续也会相对快速。
员工不能胜任工作：同样根据《劳动合同法》第四十条，如果员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位后仍不能胜任工作，工厂也可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付一个月工资后解除劳动合同。这种情况下，离职手续也会相对快速。
四、员工因工厂原因立即解除劳动合同
如果工厂存在未按照劳动合同约定提供劳动保护或劳动条件、未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等违法行为，或者工厂的规章制度违反法律、法规的规定损害劳动者权益，员工可以根据《劳动合同法》第三十八条立即解除劳动合同，不需事先告知工厂。这种情况下，离职手续通常会非常快速。
总结与建议：
希望以上解答能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。