可以申请工伤鉴定。即使没有签订劳动合同且仅工作了4天，只要符合工伤认定的实质要件，依然可以依法主张权利。以下从法律逻辑和实务操作两个层面展开分析：

一、法律逻辑：劳动关系认定不依赖书面合同

根据《工伤保险条例》第十八条，工伤认定核心要件是”存在劳动关系（含事实劳动关系）”和”因工作原因受伤”，未签订书面合同不影响事实劳动关系的成立。
依据《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号），事实劳动关系可通过以下证据综合认定：

1. 工作证据：工资支付记录（微信/银行转账）、工作证、考勤记录、同事证言、工作群聊天记录、工作现场照片等；
   
2. 管理证据：用人单位安排工作的指令、工作成果交付记录、奖惩记录等；
   
3. 行业特征：如建筑行业常见”包工头”招工，即使未签合同，只要实际接受用工管理即可认定劳动关系。
   

实务提示：即使仅工作4天，只要存在用工事实（如实际提供劳动、接受管理），即可通过上述证据证明劳动关系。

二、实务操作：工伤认定流程与关键节点

1. 申请主体：用人单位未在30日内申请工伤认定的，劳动者或其近亲属可在1年内直接向社保部门申请；
   
2. 材料清单：
   
   • 工伤认定申请表（需载明受伤经过）；
     
   • 劳动关系证明（如前述证据）；
     
   • 医疗诊断证明（需注明受伤部位及原因）；
     
   • 其他证据（如现场监控、证人联系方式等）。
     
3. 调查程序：社保部门可能要求用人单位举证，若用人单位否认劳动关系，需通过劳动仲裁确认劳动关系后再申请工伤认定；
   
4. 赔偿项目：包括医疗费、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等，具体标准依据《工伤保险条例》及地方实施细则。
   

风险提示：若用人单位否认劳动关系，可能需先通过劳动仲裁确认劳动关系（周期约45-60日），再申请工伤认定（周期约60日），建议同步收集证据以缩短维权周期。

三、特殊情形：非全日制用工的工伤认定

若符合《劳动合同法》第六十八条规定的非全日制用工（如每日工作不超过4小时、周累计不超过24小时），同样适用工伤保险。用人单位需为非全日制员工缴纳工伤保险，未缴纳的仍需承担工伤赔偿责任。

行动建议：

1. 立即固定证据（如保存工作记录、拍摄受伤现场）；
   
2. 要求用人单位出具书面事故说明（若拒绝，可自行记录受伤经过并找证人签字）；
   
3. 尽快向当地社保部门提交工伤认定申请（需在1年内提出）；
   
4. 若用人单位否认劳动关系，同步申请劳动仲裁确认劳动关系。
   

如有进一步证据材料或具体细节需要分析，可直接向我咨询，我将结合您所在省份的司法实践提供针对性建议。