结论：在劳动仲裁结果已出且进入一审程序后，不上诉的一方（即一审中的被告或被上诉人）在开庭期间是可以提交新证据的，但需遵循一定的规则和程序。
详细分析：
证据提交的基本原则：
- 在民事诉讼（包括劳动争议案件的一审）中，证据的提交是当事人行使诉讼权利、履行诉讼义务的重要方式。根据《中华人民共和国民事诉讼法》及相关司法解释，当事人有权在法庭调查阶段提交证据，以支持自己的主张或反驳对方的主张。
一审中证据提交的时间点：
- 在一审程序中，证据的提交通常不受仲裁阶段证据提交时间的严格限制。即使一方在仲裁阶段未提交某些证据，只要这些证据与案件事实相关且合法，仍有可能在一审中被采纳。
- 具体来说，不上诉的一方（被告或被上诉人）可以在一审开庭前、开庭时或法庭指定的其他时间内提交证据。但需注意，法庭可能会根据案件情况、证据的重要性及提交时间等因素，决定是否采纳这些证据。
证据提交的限制与注意事项：
- 逾期提交的后果：如果一方无正当理由逾期提交证据，法庭可能会根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，对该方进行训诫、罚款，甚至不予采纳其逾期提交的证据。
- 证据的真实性与合法性：提交的证据必须真实、合法，且与案件事实相关。伪造、篡改或非法获取的证据将不被法庭采纳，并可能面临法律责任。
- 证据的质证与认证：提交的证据需经对方质证，并由法庭进行认证。只有经过质证和认证的证据，才能作为认定案件事实的依据。
实际操作建议：
- 提前准备：不上诉的一方应在一审开庭前充分准备证据，确保证据的完整性、真实性和合法性。
- 及时提交：在法庭指定的时间内及时提交证据，避免逾期提交带来的不利后果。
- 积极沟通：与法庭和对方保持积极沟通，了解证据提交的具体要求和程序，确保证据能够得到有效采纳。
法律后果与风险提示：
- 如果不上诉的一方未能在一审中充分提交证据，可能导致其主张得不到法庭支持，从而承担不利的诉讼结果。
- 逾期提交证据或提交虚假证据，不仅可能面临法庭的训诫、罚款等处罚，还可能影响案件的公正审理和当事人的诉讼信誉。
进一步行动建议：
- 如果你作为不上诉的一方，在一审开庭期间有新证据需要提交，建议及时与法庭沟通，了解证据提交的具体要求和程序。
- 在提交证据前，务必对证据的真实性、合法性和关联性进行仔细审查，确保证据能够得到有效采纳。
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