辞退补偿主要由用人单位的相关部门负责支付，但具体负责部门可能因用人单位的组织架构和实际情况有所不同，不过通常与人力资源部门或财务部门紧密相关。以下从不同情况为你详细分析：
正常情况下：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，如果用人单位与员工解除劳动关系，并且符合支付经济补偿的情形（如用人单位无过错性辞退员工、经济性裁员等），那么补偿金通常由该用人单位自行承担支付责任。在实际操作中，这一支付流程往往由用人单位的人力资源部门负责核算补偿金额，并协调财务部门进行支付。例如，某公司因业务调整与一批员工协商一致解除劳动合同，按照法律规定需支付经济补偿，这笔补偿金即由该公司的人力资源部门核算后，交由财务部门支付给员工。
用人单位合并、分立时：
- 当用人单位发生合并或者分立等情况时，原劳动合同继续有效，并由承继其权利和义务的用人单位继续履行。若此时员工被辞退且需支付补偿金，则由承继原用人单位权利义务的单位承担。同样，这一支付流程也会涉及到人力资源部门和财务部门的协作。比如，A公司与B公司合并成立C公司，若A公司原来的员工被辞退并需要支付补偿金，那么这笔补偿金应由C公司的人力资源部门核算后，交由财务部门来承担支付。
劳务派遣关系中：
- 在劳务派遣关系中，劳务派遣单位是被派遣劳动者的用人单位。如果被派遣劳动者因用工单位原因被退回劳务派遣单位，并且劳务派遣单位解除劳动合同符合支付补偿的情形，那么补偿金由劳务派遣单位支付。这一过程中，劳务派遣单位的人力资源部门会负责核算补偿金额，并协调财务部门进行支付。但是，如果用工单位存在过错导致劳动合同解除，用工单位可能需要与劳务派遣单位一起承担连带赔偿责任，共同支付劳动者的经济补偿金等费用。例如，小王作为劳务派遣公司的员工被派到乙企业工作，若乙企业因经营问题将小王退回劳务派遣公司，且劳务派遣公司随后与小王解除劳动合同并符合补偿条件，那么补偿金应由劳务派遣公司的人力资源部门核算后，交由财务部门支付；若乙企业存在过错，则乙企业可能与劳务派遣公司共同承担补偿责任，此时会涉及到两个单位的人力资源部门和财务部门的协作。
用人单位主体不存在时：
- 如果用人单位恶意注销等导致主体不存在，但经认定属于违法解除劳动关系，劳动者主张的赔偿金等可由原用人单位的股东等责任主体在一定范围内承担相应责任。不过，这种情况相对复杂，具体认定和承担方式需根据实际情况和法律规定来确定，可能涉及到法律诉讼和法院判决等程序。
建议：
- 如果你作为员工被辞退并需要获得补偿金，首先应与用人单位的人力资源部门进行沟通，了解补偿金额和支付方式等具体信息。
- 如果对补偿金额或支付方式有异议，可以与用人单位进行协商，或者寻求劳动仲裁机构的帮助来维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，保留好相关证据，如劳动合同、辞退通知、工资单等，以便在需要时提供证明。
如果你在辞退补偿方面遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供详细的法律建议。