针对您提出的“母亲走失多年后发现外面还生有子女，父亲留下的遗产如何继承”这一问题，核心前提是母亲走失多年且存在非婚生子女的情况，而关键在于明确遗产继承的法定规则以及非婚生子女在继承中的法律地位。以下是具体分析：

1. 关于母亲走失对继承的影响
   母亲走失本身并不直接导致其丧失继承权。根据《民法典》第1千一百二十七条，配偶、子女、父母为第一顺序继承人。即使母亲下落不明，在未被宣告死亡前，她仍依法享有继承权。若需处理遗产，可先通过法院宣告母亲失踪（需满足下落不明满2年条件），并指定财产代管人；若下落不明满4年或因意外事件下落不明满2年，可申请宣告死亡，此时婚姻关系终止，母亲不再参与继承。

2. 非婚生子女的继承权
   根据《民法典》第1千零七十一条，非婚生子女与婚生子女享有同等继承权。若母亲走失期间与他人所生子女经亲子鉴定确认血缘关系，或母亲承认亲子关系，则这些子女有权参与父亲遗产的分配。需注意：若母亲走失后被宣告死亡，其与他人的婚姻关系终止，此后所生子女不涉及重婚问题，继承权不受影响；若未宣告死亡，则可能涉及重婚认定，需结合具体证据判断。

3. 遗产分配的具体规则

   • 若母亲未被宣告死亡：父亲遗产由母亲、您及其他婚生子女、非婚生子女共同继承（若母亲已再婚，再婚配偶不参与继承）。
     
   • 若母亲被宣告死亡：父亲遗产由您及其他婚生子女、非婚生子女共同继承，母亲不再参与分配。
     
   • 分配比例：同一顺序继承人原则上均等分配，但可协商不均等（如对被继承人尽主要扶养义务者可多分）。若存在丧失继承权情形（如故意杀害被继承人），则排除其继承资格。

4. 实务建议

   • 确认母亲法律状态：优先通过法院宣告失踪或死亡，明确母亲是否参与继承。
     
   • 收集证据：对非婚生子女，需通过亲子鉴定、出生证明等证据确认亲子关系；对母亲走失时间，需保留报警记录、寻人启事等材料。
     
   • 协商或诉讼：若继承人之间对分配有争议，可先协商；协商不成，可向法院提起继承纠纷诉讼，由法院根据证据和法律判决。

总结：父亲遗产的继承需结合母亲是否被宣告死亡、非婚生子女身份是否确认等因素综合判断。建议尽快通过法律程序明确母亲的法律状态，并收集相关证据，以保障您的合法权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询。