与私人企业签订的劳务合同，即使没有盖公章和员工手印，也仍然可能具有法律效益，但具体效力需根据实际情况判断。以下从不同角度为你详细分析：

合同生效的基本条件

根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，合同生效一般需要满足以下条件：

1. 行为人具有相应的民事行为能力：即签订合同的双方都应具备签订合同的法律资格，如企业应具备法人资格，个人应具备完全民事行为能力。
2. 意思表示真实：即合同双方在签订合同时，意思表示应当真实、自愿，不存在欺诈、胁迫等情形。
3. 不违反法律、行政法规的强制性规定，不违背公序良俗：即合同内容应合法合规，不违反社会公共利益和道德准则。

公章和手印的作用

1. 公章：公章是企业法人的象征，具有法律效力。在合同上加盖公章，通常被视为企业法人对合同内容的确认和接受，是合同生效的重要证明。但并非所有合同都必须加盖公章才生效，如果合同中有企业法定代表人的签字，且该签字真实有效，同样可以视为企业法人对合同内容的确认。
2. 手印：手印在合同中通常作为个人签字的补充或替代，用于证明签字人的真实身份。但手印并非合同生效的必要条件，如果合同中有签字人的真实签字，且签字人具备相应的民事行为能力，合同同样可以生效。

具体情形分析

1. 合同中有企业法定代表人签字：如果合同中有企业法定代表人的真实签字，且该签字符合企业内部的签字授权程序，那么即使合同没有加盖公章，该合同仍然可能具有法律效力。因为法定代表人的签字代表了企业的意志，具有法律效力。
2. 合同中没有企业法定代表人签字，但有其他证据证明合同内容真实：如果合同中没有企业法定代表人的签字，但有其他证据（如电子邮件、短信、微信聊天记录等）能够证明合同内容是企业真实意思表示，且双方已经实际履行了合同义务，那么该合同也可能被认定为有效。因为在实际操作中，合同的履行情况也是判断合同是否生效的重要依据。
3. 合同既没有加盖公章，也没有企业法定代表人签字，且没有其他证据证明合同内容真实：在这种情况下，合同的法律效力可能会受到质疑。因为缺乏公章和法定代表人签字，且没有其他证据证明合同内容是企业真实意思表示，那么该合同可能被视为无效或可撤销。

建议

1. 尽量完善合同形式：在签订合同时，尽量要求加盖企业公章和法定代表人签字，以确保合同的法律效力。如果无法加盖公章，至少应确保有企业法定代表人的真实签字，并保留好相关证据。
2. 保留好合同履行证据：在合同履行过程中，注意保留好相关证据（如交货单、收款凭证、沟通记录等），以证明双方已经实际履行了合同义务。这些证据在合同纠纷发生时，将起到至关重要的作用。
3. 及时咨询专业律师：如果对合同的法律效力存在疑问，或者遇到合同纠纷，建议及时咨询专业律师，以便得到更具体、更专业的法律建议。

希望以上分析能对你有所帮助。如果你还有其他问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。