在起诉后继承人死亡的情况下，遗产的继承将由该继承人的法定继承人或遗嘱指定的继承人来继承。具体分析如下：

1. 法定继承的情况：

   • 如果被继承人（即原遗产的所有者）在去世前没有留下遗嘱，或者遗嘱无效，那么遗产将按照法定继承的顺序进行分配。
   • 在起诉后，如果某一继承人死亡，其应继承的份额将转由该死亡继承人的法定继承人继承。这通常包括配偶、子女、父母等第一顺序继承人。如果第一顺序继承人不存在或放弃继承，则由第二顺序继承人（如兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）继承。

2. 遗嘱继承的情况：

   • 如果被继承人在去世前留下了有效的遗嘱，并指定了特定的继承人来继承其遗产，那么遗产将按照遗嘱的指示进行分配。
   • 在起诉后，如果遗嘱中指定的某一继承人死亡，且遗嘱中没有对该情况作出特别说明（如指定替代继承人），则该死亡继承人的份额可能会按照法定继承的规则处理，或者根据遗嘱的具体内容和当地法律的规定来确定如何分配。但通常情况下，如果遗嘱未明确说明，该份额可能会视为未分配，并可能由其他遗嘱继承人或法定继承人继承，具体取决于遗嘱的完整性和当地法律的规定。不过，更常见的是，如果遗嘱继承人先于被继承人死亡，且遗嘱未指定替代继承人，则该部分遗产可能按法定继承处理，或者如果遗嘱有特别条款（如“剩余遗产归…”），则按遗嘱特别条款处理。在起诉后继承人死亡的情况下，若遗嘱未明确，一般倾向于按法定继承的逻辑来处理该死亡继承人的份额，即由其法定继承人继承。

3. 特殊情况考虑：

   • 如果起诉的内容与遗产分配直接相关，且继承人死亡发生在诉讼过程中，那么诉讼程序可能会因此受到影响。法院可能会需要确定新的继承人或调整诉讼参与人，以确保诉讼的顺利进行。
   • 另外，如果继承人死亡导致遗产分配方案发生重大变化，其他继承人或相关利益方可能会提出新的诉讼请求或要求重新分配遗产。

法律建议：

• 在处理此类复杂情况时，建议尽快咨询专业律师，特别是熟悉婚姻家庭和遗产继承领域的律师，如我本人林晏生，以确保您的权益得到妥善保护。
• 律师将能够根据您的具体情况，提供详细的法律分析和建议，帮助您制定合适的诉讼策略或遗产分配方案。

可能法律后果：

• 如果未能及时、正确地处理继承人死亡后的遗产继承问题，可能会导致诉讼程序延误、遗产分配不公或引发新的法律纠纷。
• 因此，务必谨慎对待此类问题，并在必要时寻求专业法律帮助。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。