法定继承人死亡后，遗产的继承需分情况处理，主要涉及代位继承和转继承两种制度。以下是对这一问题的详细解析：
代位继承：
- 适用条件：在法定继承中，若被继承人的子女或兄弟姐妹先于被继承人死亡，那么该子女的直系晚辈血亲（如子女、孙子女等）或兄弟姐妹的子女可以代位继承。
- 继承范围：代位继承人通常只能继承被代位继承人有权继承的遗产份额。例如，若甲的儿子乙先于甲死亡，甲去世后，乙的子女丙、丁将代位继承乙原本有权从甲处继承的遗产份额。
- 特别说明：代位继承仅适用于法定继承，遗嘱继承不适用。若遗嘱指定的继承人先于被继承人死亡，遗嘱中关于该继承人继承遗产的部分将按法定继承办理。
转继承：
- 适用条件：继承开始后，在被继承人的遗产分割前，若继承人死亡且未放弃继承权，其应继承的遗产份额将转由其合法继承人继承。
- 继承方式：转继承可以发生在法定继承和遗嘱继承中。转继承人不仅继承被继承人的权利，也承担其义务。
- 举例说明：被继承人C去世后，遗产尚未分割时，继承人D也去世。若D未放弃对C遗产的继承权，D应从C处继承的遗产份额将由D的合法继承人（如配偶、子女等）来继承。
其他相关情况：
- 遗赠扶养协议：如果存在遗赠扶养协议，并且扶养人履行了相应的扶养义务，扶养人可以按照协议获得遗产。这通常发生在被继承人与继承人以外的组织或个人之间。
- 丧失继承权：若继承人存在故意杀害被继承人、为争夺遗产而杀害其他继承人等严重违法行为，将丧失继承资格。即使符合上述继承规则，也不得继承遗产。
- 无代位继承人或转继承人的情况：若没有代位继承人或转继承人，或者他们放弃继承权，遗产将按照法定的继承顺序进行分配。通常会优先考虑配偶、子女、父母等近亲属。若这些近亲属也不存在或放弃继承权，遗产可能归国家所有，用于公益事业。
建议与提醒：
在处理遗产继承问题时，由于涉及复杂的法律关系和多种可能性，建议根据具体情况仔细分析并咨询专业意见。作为专注于婚姻家庭领域的律师，我可以为你提供详细的法律咨询和专业的法律服务。如果你有任何疑问或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。