结论概述：个人擅自开展“点对点”培训，在教育部持续开展线上巡查的背景下，通常是不合法的。这一结论基于教育部对线上学科类校外培训的严格监管政策，以及新闻背景中提到的违规现象和处罚措施。
一、法律背景与政策分析
“双减”政策背景：
- 教育部为贯彻落实中央“双减”工作部署，对线上培训机构、网络平台遵守“双减”要求情况开展常态化全面线上巡查监管。
- “双减”政策旨在减轻学生课外负担和家长经济负担，规范校外培训市场。
线上培训监管政策：
- 教育部明确要求，线上培训机构需取得相应资质，并遵守收费规范、课程安排等规定。
- 未经许可擅自开展线上培训，特别是学科类培训，是违反政策规定的。
二、新闻背景中的违规现象与处罚
违规现象：
- 新闻背景中提到，部分个人擅自开展“点对点”培训，通过免费视频等方式诱导家长加个人微信购买培训课程。
- 这种行为属于未经许可擅自开展线上培训，违反了教育部的监管政策。
处罚措施：
- 教育部对巡查发现的问题线索持续加大处罚力度，形成警示震慑。
- 违规问题已全部转交各地完成核查处置，意味着个人擅自开展“点对点”培训将面临法律责任和处罚。
三、个人擅自开展“点对点”培训的法律风险
行政处罚风险：
- 根据教育部的监管政策，个人擅自开展线上培训可能面临行政处罚，如罚款、责令停止办学等。
民事责任风险：
- 如果个人在培训过程中存在欺诈、虚假宣传等行为，还可能承担民事责任，如赔偿损失、退还费用等。
刑事责任风险（极端情况）：
- 在极端情况下，如果个人擅自开展培训涉及诈骗、非法经营等严重违法行为，还可能承担刑事责任。
四、对公众的启示与建议
遵守政策规定：
- 公众应遵守教育部的监管政策，不擅自开展线上培训活动。
选择正规机构：
- 家长在选择线上培训时，应选择具有合法资质、口碑良好的正规机构。
增强法律意识：
- 公众应增强法律意识，了解相关法律法规和政策规定，避免陷入法律风险。
五、热点事件延伸思考
对相关行业的警示意义：
- 教育部对线上培训的严格监管政策，对相关行业具有警示意义。行业从业者应遵守政策规定，规范经营行为。
类似情况的预防措施：
- 公众应提高警惕，避免被个人擅自开展的“点对点”培训所迷惑。同时，相关部门也应加强监管力度，及时发现和查处违规行为。
综上所述，个人擅自开展“点对点”培训在教育部持续开展线上巡查的背景下是不合法的。公众应遵守政策规定，选择正规机构进行培训，并增强法律意识以避免法律风险。如果有任何法律问题或疑虑，可以直接向我咨询。