结论：公司因您劳动合同到期且请病假而将您辞退的行为，可能涉嫌违法解除劳动合同，您有权要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。具体分析如下：
一、法律背景
劳动合同到期与续签：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，劳动合同终止，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
- 若劳动合同到期时，劳动者处于医疗期、孕期、产期或哺乳期等特殊保护期内，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。
病假与医疗期：
- 劳动者在医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。
- 医疗期的具体长度根据劳动者的工作年限和在本单位的工作年限确定，一般为3个月到24个月不等。
违法解除劳动合同的后果：
- 若用人单位违法解除劳动合同，劳动者有权要求用人单位继续履行劳动合同，或者要求用人单位支付赔偿金。
- 赔偿金的标准为经济补偿标准的二倍，经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
二、针对您的情况分析
若您处于医疗期内：
- 公司不得因劳动合同到期而解除与您的劳动合同，应续延至医疗期满。若公司此时将您辞退，则构成违法解除劳动合同。
- 您有权要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司支付赔偿金。
若您不处于医疗期内：
- 若劳动合同到期时，您未处于医疗期内，且公司未提出维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而您不同意不续订的，公司应支付经济补偿。
- 但若公司以您请病假为由，在劳动合同到期时直接将您辞退，且未支付经济补偿，则可能构成违法解除劳动合同（尤其是如果病假与劳动合同到期时间相近，且公司未给予合理续签机会的情况下）。此时，您同样有权要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。
三、建议行动
收集证据：
- 收集劳动合同、病假证明、医疗期证明、公司辞退通知等相关证据，以证明您的权益受到侵害。
与公司协商：
- 尝试与公司进行协商，要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。
申请劳动仲裁：
- 若协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
四、注意事项
- 在处理此类纠纷时，务必保持冷静和理性，避免采取过激行为。
- 如有需要，可以寻求专业律师的帮助，以确保您的权益得到充分保障。
若您有任何进一步的问题或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。