结论前置：合同到期且员工请病假时，用人单位能否辞退员工需根据具体情况判断，主要包括医疗期是否届满、员工能否胜任工作以及是否存在严重违反规章制度等情形。以下是对此问题的详细分析：
一、医疗期内，用人单位不得随意解除劳动合同
法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在医疗期内，即使劳动合同到期，用人单位也不能随意辞退员工。
医疗期定义及时长：医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。医疗期的长短依据职工实际参加工作年限和在本单位工作年限来确定，范围从3个月到24个月不等。例如，实际工作年限十年以下且本单位工作年限五年以下的为3个月，五年以上为6个月。
二、医疗期满，用人单位可依法解除劳动合同
解除条件：若劳动者在医疗期满后仍不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。
经济补偿：在此情况下，用人单位需按劳动者在本单位工作的年限支付经济补偿。具体标准为：每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿。
三、员工存在过错，用人单位可解除劳动合同
过错情形：即使员工在医疗期内，如果存在严重违反用人单位规章制度的行为，如给用人单位造成重大损害，用人单位也有权解除劳动合同。特别地，如果员工提供虚假病假证明，即编造病假理由，用人单位一经查实，可以立即解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
解除程序：在解除前，用人单位需提前通知工会或向劳动者说明理由，并依法支付相应的经济补偿（若非因员工过错导致的解除，则无需支付）。
四、特殊群体的额外保护
值得注意的是，对于某些特殊群体，如孕期、产期、哺乳期的女职工，法律提供了额外的保护。在孕期、产期、哺乳期期间，用人单位不得依照《劳动合同法》中关于经济性裁员或无过失性辞退的规定解除劳动合同。
五、法律建议
了解医疗期时长：员工应了解自己的医疗期时长，以便在医疗期内维护自己的合法权益。
保留证据：在请病假期间，员工应保留好相关的医疗证明和请假手续，以备不时之需。
咨询专业意见：如果员工认为用人单位在自己请病假期间违法辞退了自己，可以通过劳动仲裁或诉讼等法律途径来维护自身的合法权益。在此过程中，建议咨询专业律师的意见，以确保自己的权益得到充分保障。
总结：合同到期且员工请病假时，用人单位能否辞退员工需根据具体情况判断。在医疗期内，用人单位不得随意解除劳动合同；医疗期满后，如果员工不能胜任工作，用人单位可以依法解除劳动合同并支付经济补偿；如果员工存在过错，用人单位也有权解除劳动合同。在任何情况下，员工都应了解自己的权益并保留好相关证据，以便在必要时维护自己的合法权益。