结论前置：教育行政机关执法违法且拒绝自主纠错时，可以依申请启动纠错程序。以下从法律程序、申请主体、申请方式及后续救济途径等角度详细分析：

一、法律程序依据：依申请启动纠错的合法性

根据《行政复议法》及《行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或其他组织认为行政机关的具体行政行为违法或不当，有权通过法定程序申请纠正。具体到教育行政领域：

1. 行政复议途径：若教育行政机关的执法行为（如处罚、许可、强制措施等）违法，相对人可向上一级教育行政部门或同级人民政府申请行政复议，要求撤销、变更或确认违法，并责令重新作出行政行为（《行政复议法》第12条）。
2. 行政诉讼途径：若复议未果或直接选择诉讼，相对人可向法院提起行政诉讼，请求法院审查行政行为的合法性，并判决撤销、变更或履行法定职责（《行政诉讼法》第12条）。

关键点：纠错程序的核心是“依申请启动”，即需由相对人主动提出，而非行政机关自行启动。

二、申请主体：谁有权申请纠错？

1. 直接相对人：如学生、家长、学校等直接受到教育行政行为影响的主体。
2. 利害关系人：虽非直接相对人，但行政行为对其合法权益造成实际影响的主体（如相邻权人、竞争权益人等）。

示例：若教育部门对某学校作出停业处罚，学校是直接相对人，而该校教师因停业导致失业，可作为利害关系人申请纠错。

三、申请方式：如何有效启动纠错程序？

1. 行政复议申请：
   • 材料要求：提交书面申请书（载明申请人、被申请人、请求事项、事实与理由）、身份证明、行政行为文书等。
   • 期限：自知道行政行为之日起60日内提出（《行政复议法》第9条）。
2. 行政诉讼起诉：
   • 材料要求：提交起诉状（载明原被告、诉讼请求、事实与理由）、证据材料等。
   • 期限：自知道行政行为之日起6个月内提出（《行政诉讼法》第46条）。

提示：若行政机关拒绝纠错且未出具书面答复，可视为“不作为”，直接以“不履行法定职责”为由申请复议或起诉。

四、后续救济途径：若申请被拒怎么办？

1. 复议机关不作为：可向法院起诉复议机关，要求其履行复议职责（《行政诉讼法》第26条）。
2. 诉讼判决不利：可在判决书送达之日起15日内上诉，或通过再审程序申请救济（《行政诉讼法》第85条、第90条）。

五、实务建议：如何提高纠错成功率？

1. 证据收集：保留行政行为文书、沟通记录、损害后果证明等材料。
2. 专业协助：教育行政领域涉及《教育法》《义务教育法》等特殊规定，建议委托律师分析行为违法性（如程序违法、超越职权、适用法律错误等）。
3. 策略选择：根据行政行为类型（如处罚、许可、强制）选择最优救济路径（如复议前置或直接诉讼）。

总结：教育行政机关执法违法且拒绝纠错时，相对人可通过行政复议或行政诉讼依申请启动纠错程序。关键在于明确申请主体、准备充分材料、选择合适途径，并在必要时寻求专业法律支持。如有具体案件细节，可进一步向我咨询，我将结合案情提供针对性建议。