结论：正式工和劳务工发生争吵，公司是否会开除员工，这并非一个简单的“是”或“否”的问题，而是需要依据具体情况、公司规章制度以及相关法律法规来综合判断。
分析如下：
公司规章制度：
- 首先，要查看公司的规章制度中是否有关于员工争吵或冲突的处理规定。如果公司有明确的规章制度，并且规定员工之间发生争吵或冲突属于严重违反公司纪律的行为，那么公司有权依据这些规定对员工进行处罚，包括开除。
- 然而，规章制度必须合法合理，不能违反法律法规的强制性规定，也不能侵犯员工的合法权益。如果规章制度中的相关条款过于苛刻或不合理，那么这些条款可能不会被法律所认可。
争吵的性质和后果：
- 争吵的性质和后果也是决定公司是否会开除员工的重要因素。如果争吵只是轻微的口角，没有造成严重的后果或影响，那么公司可能会选择警告、罚款等较轻的处罚方式，而不是直接开除。
- 如果争吵升级为肢体冲突，或者造成了公司财产的损失、影响了公司的正常运营等严重后果，那么公司可能会考虑开除涉事员工。
员工的身份和合同类型：
- 正式工和劳务工在合同类型、用工关系等方面存在差异，但这并不意味着劳务工在争吵中就更容易被开除。无论是正式工还是劳务工，公司都需要依据法律法规和规章制度来处理员工之间的冲突。
- 劳务工虽然与公司之间可能不存在长期的劳动合同关系，但他们在工作期间也享有相应的劳动权益，公司不能随意开除他们。
相关法律法规：
- 根据《中华人民共和国劳动法》和《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司开除员工必须符合法定条件，如员工严重违反公司规章制度、严重失职或营私舞弊给公司造成重大损害等。
- 如果公司没有合法合理的理由就开除员工，那么员工有权向劳动仲裁机构或法院提起诉讼，要求公司承担相应的法律责任。
建议：
- 对于员工来说，无论身份如何，都应该遵守公司的规章制度和法律法规，尊重同事，避免发生争吵或冲突。如果确实发生了冲突，应该积极寻求解决方式，如向公司人力资源部门反映情况、寻求调解等。
- 对于公司来说，应该建立健全的规章制度和纠纷解决机制，及时处理员工之间的冲突和矛盾，避免事态扩大化。同时，公司在处理员工冲突时也应该遵循法律法规和公平公正的原则，保护员工的合法权益。
举例：
假设某公司有两名员工，一名是正式工，另一名是劳务工。他们在工作中发生了争吵，但并未造成严重的后果。公司根据规章制度对两人进行了警告处理，并要求他们写下检讨书。这种情况下，公司并没有开除员工，而是选择了较轻的处罚方式。
再假设另一家公司中，两名员工在争吵中发生了肢体冲突，导致公司财产受损且影响了正常运营。公司根据规章制度和相关法律法规，对涉事员工进行了开除处理。这种情况下，公司开除员工是合法合理的。
总之，正式工和劳务工发生争吵后公司是否会开除员工，需要依据具体情况、公司规章制度以及相关法律法规来综合判断。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。