结论：精神病人砍死其父亲是否会被追究责任，需根据其作案时的精神状态进行具体分析，主要分为完全无刑事责任能力、限制刑事责任能力两种情况。
分析：
完全无刑事责任能力：
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第十八条第一款的规定，精神病人在不能辨认或者不能控制自己行为的时候造成危害结果，经法定程序鉴定确认的，不负刑事责任。
- 具体情形：如果精神病人作案时处于发病期，完全不能辨认或控制自己的行为，且经法定程序鉴定确认，那么该精神病人将不负刑事责任。但应当责令他的家属或者监护人严加看管和医疗；在必要的时候，由政府强制医疗。
限制刑事责任能力：
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》第十八条第三款的规定，尚未完全丧失辨认或者控制自己行为能力的精神病人犯罪的，应当负刑事责任，但是可以从轻或者减轻处罚。
- 具体情形：如果精神病人作案时虽然患有精神病，但尚未完全丧失辨认或控制自己行为的能力，那么该精神病人将需要承担刑事责任，但可以从轻或者减轻处罚。这意味着，法院在判决时会考虑其精神状态对犯罪行为的影响，从而在量刑上给予一定的宽宥。
额外考量：
- 鉴定程序的重要性：在处理此类案件时，精神病人的精神状态鉴定是关键。必须由有资质的鉴定机构进行鉴定，并出具正式的鉴定报告，作为法院判决的依据。
- 家属或监护人的责任：无论精神病人是否被追究刑事责任，其家属或监护人都应承担起严加看管和医疗的责任，以防止类似事件再次发生。
- 社会支持与干预：对于精神病人，社会应提供必要的支持和干预措施，如提供心理咨询、治疗服务等，以帮助他们更好地融入社会，减少犯罪风险。
建议：
- 如果涉及此类案件，建议立即报警并寻求法律援助。同时，应尽快联系有资质的鉴定机构对精神病人的精神状态进行鉴定。
- 家属或监护人应积极配合调查和处理工作，并承担起相应的责任。
- 社会各界应加强对精神病人的关注和支持，共同营造一个和谐、安全的社会环境。
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