当罪犯在投牢前（这里我们理解为在监狱服刑期间，因为“投牢”通常指的是被送入监狱执行刑罚）被发现新的犯罪行为时，公安机关及司法机关会依法依规进行一系列严谨的处理流程，以确保法律的公正性和权威性，同时充分保障罪犯的合法权益。以下是详细的处理步骤：
一、侦查阶段
监狱初步调查与取证：
- 监狱在日常管理中，如果发现罪犯存在新的犯罪行为，会立即启动初步调查程序。这包括收集相关证据，如犯罪现场的勘查记录、与相关人员的谈话记录等。监狱具有必要的调查权，可以对犯罪现场进行勘查，询问证人（包括其他罪犯和监狱工作人员），并固定与犯罪有关的物品、痕迹等证据。
移送公安机关正式侦查：
- 初步调查后，如果监狱认为有犯罪事实需要追究刑事责任，会将案件移送至当地公安机关进行正式侦查。公安机关将依据刑事诉讼法的规定，全面深入地开展侦查工作，包括讯问犯罪嫌疑人、询问证人、进行勘验检查、搜查鉴定等，以查明犯罪事实并收集确凿证据。
二、审查起诉阶段
公安机关移送审查起诉：
- 侦查终结后，如果公安机关认为犯罪事实清楚、证据确实充分，会将案件移送同级人民检察院审查起诉。同时，会随案移送起诉意见书及全部案卷材料和证据。
检察院全面审查与决定：
- 人民检察院会对移送的案件进行全面审查，包括讯问犯罪嫌疑人、听取辩护人及被害人及其诉讼代理人的意见，并对证据进行核实。如果认为犯罪事实已查清且证据确实充分，会依法提起公诉；如果证据不足或不符合起诉条件，可能会退回公安机关补充侦查或自行侦查。
三、审判阶段
法院受理与审理：
- 人民法院受理公诉案件后，会按照法定程序进行审理。审理过程中，会组织控辩双方举证、质证和辩论，并听取被告人的最后陈述。法院将根据查明的事实、证据及法律规定，作出有罪或无罪的判决。
数罪并罚的处理原则：
- 如果罪犯在刑罚执行完毕前又犯罪，根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，会对新罪作出判决，并将前罪未执行的刑罚与新罪所判刑罚，依照数罪并罚的原则决定执行的刑罚。这通常采用“先减后并”的原则，即先减去已执行的刑期，再将剩余刑期与新罪刑期按数罪并罚规则合并执行。
四、执行阶段
交付执行新判决：
- 一旦法院判决生效，监狱会根据新判决对罪犯执行相应刑罚。如果新判决涉及刑罚种类、刑期等变更，监狱会按新要求监管和改造罪犯，并及时向相关司法机关反馈执行情况。
保障罪犯合法权益：
- 在整个处理过程中，会充分保障罪犯的合法权益，包括辩护权、申诉权等。同时，会考虑罪犯在监狱中的表现、前科记录及新罪行的具体情况，以确保裁决的公正性。
综上所述，当罪犯在监狱服刑期间被发现新的犯罪行为时，公安机关及司法机关会依法依规进行一系列严谨的处理流程。这些流程确保了法律的公正性和权威性，同时充分尊重和保护了罪犯的合法权益。