针对您提出的问题，即“未成年人有6岁，由曾祖母监护，曾祖母是否有监护责任”，我们可以从以下几个方面进行详细解答：

首先，我们需要明确监护人的定义和职责。监护人是指对无民事行为能力人和限制民事行为能力人的人身、财产和其他一切合法权益，负有监督和保护责任的人。监护人的职责包括代理被监护人实施民事法律行为，保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益等。

接下来，我们根据相关法律规定来分析曾祖母是否具有监护责任。根据《民法典》的相关规定，未成年人的父母是未成年子女的监护人。但在父母死亡或没有监护能力的情况下，监护人的顺序会依次由祖父母、外祖父母、兄姐、其他愿意担任监护人的个人或组织（但须经未成年人住所地的居民委员会、村民委员会或者民政部门同意）来担任。

现在，我们具体到您的案例中。一个6岁的未成年人，其父母的情况未明确说明，但假设其父母已经死亡或没有监护能力（这是曾祖母成为监护人的前提条件）。在此情况下，如果祖父母和外祖父母也不在世或没有监护能力，那么根据法律规定，其他愿意担任监护人的个人或组织，在经过相关程序同意后，可以担任监护人。而曾祖母，作为未成年人的直系血亲长辈，在符合上述条件且愿意并有能力担任监护人的情况下，是可以成为监护人的。

既然曾祖母成为了监护人，那么她就应当履行监护人的职责，包括但不限于保护被监护人的人身安全、管理被监护人的财产、代理被监护人实施民事法律行为等。如果曾祖母不履行监护职责或侵害了被监护人的合法权益，其他有监护资格的人或单位可以向人民法院起诉，要求其承担民事责任或变更监护关系。

综上所述，在未成年人的父母死亡或没有监护能力，且祖父母、外祖父母也不在世或没有监护能力的情况下，如果曾祖母愿意并有能力担任监护人，并经过了相关程序的同意，那么她是有监护责任的。她应当依法履行监护职责，保护被监护人的合法权益。