结论：员工被鉴定为完全丧失劳动能力并申请病残津贴后，企业一般不可以随意与其解除劳动关系，但存在特定法定情形时可以解除。具体分析如下：
一、因工致残且完全丧失劳动能力的情况
根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条以及《中华人民共和国劳动法》第二十九条的规定，若劳动者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力，除存在劳动者严重违反用人单位规章制度等法定过错情形外，用人单位不得解除劳动合同。在您所描述的情形中，员工被鉴定为完全丧失劳动能力，这通常意味着其因工致残的程度较为严重，因此，在不存在法定过错情形的前提下，企业不得解除与该员工的劳动关系。
二、非因工致残且完全丧失劳动能力的情况
如果员工是完全丧失劳动能力并非因工导致，那么情况会有所不同。虽然此时员工可能正在享受病残津贴，但企业解除劳动关系的条件仍然受到法律的严格限制。
医疗期内：根据《劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内，用人单位不得解除劳动合同。这是为了保障病残员工在身体恢复期间有稳定的生活来源和基本的社会保障。因此，在医疗期内，企业不得解除与完全丧失劳动能力员工的劳动关系。
医疗期满后：医疗期满后，若劳动者既不能从事原工作也不能从事由用人单位另行安排的工作，根据《劳动合同法》第四十条的规定，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。但这种情况并不适用于因工致残的员工，且即使是非因工致残，企业也需支付经济补偿。在您所描述的情形中，由于员工是完全丧失劳动能力，且很可能已经超过了医疗期，但如果是因工致残则不适用此条；若非因工致残，企业需在支付经济补偿的前提下，才能考虑解除劳动关系。
三、法定过错情形下的解除
无论员工是否因工致残，也无论其是否完全丧失劳动能力，如果员工存在严重违反用人单位规章制度等《劳动合同法》第三十九条规定的过错情形，企业都有权解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
四、建议与注意事项
企业应谨慎处理：在处理与完全丧失劳动能力员工的劳动关系时，企业应格外谨慎，确保程序的合法性和正当性，充分保障员工的合法权益。
咨询专业律师：由于劳动纠纷案件往往涉及复杂的法律关系和事实认定，因此，在处理此类案件时，建议企业咨询专业律师的意见，以确保决策的合法性和有效性。当然，您也可以直接向我咨询相关问题。
关注员工心理与生活：完全丧失劳动能力的员工往往面临巨大的心理和生活压力，企业在处理与其劳动关系的同时，也应关注其心理和生活状况，提供必要的帮助和支持。
综上所述，员工被鉴定为完全丧失劳动能力并申请病残津贴后，企业一般不可以随意与其解除劳动关系。但在特定法定情形下（如员工存在严重过错或非因工致残且医疗期满后不能从事原工作也不能从事另行安排的工作），企业可以在支付经济补偿的前提下考虑解除劳动关系。