结论：被执行人未按执行通知履行义务时，申请执行人一般不能直接另案诉讼，但存在特定情形下可以采取其他法律措施。以下从不同角度进行详细分析：

1. 一般原则：执行程序与诉讼程序的独立性

   • 在民事诉讼中，执行程序与诉讼程序是相互独立的两个阶段。一旦案件进入执行程序，意味着原生效法律文书（如判决书、调解书等）已经确定了当事人的权利义务关系。此时，如果被执行人未按执行通知履行义务，申请执行人应当通过执行程序来寻求救济，而不是直接另案提起诉讼。
   • 执行程序的主要目的是通过法院的强制力，确保生效法律文书得到履行。因此，在执行过程中，法院会采取一系列执行措施，如查封、扣押、冻结财产，拍卖、变卖财产，限制高消费，纳入失信被执行人名单等，以迫使被执行人履行义务。

2. 特定情形下的另案诉讼可能性

   • 执行异议之诉：如果申请执行人或被执行人对执行标的（如房产、车辆等）的权属有争议，或者认为执行行为违反法律规定，可以提起执行异议之诉。但这种情况并非直接针对被执行人未按执行通知履行的行为，而是对执行标的或执行行为的合法性提出异议。
   • 另案主张新权利：如果申请执行人在原生效法律文书之外，又发现了被执行人新的财产线索或新的侵权行为，且这些新情况与原生效法律文书无关，那么申请执行人可以基于这些新情况另案提起诉讼。但这种情况并不常见，且需要满足一定的条件。
   • 涉及第三人权益：在某些情况下，被执行人的财产可能涉及第三人的权益（如共有财产、抵押财产等）。如果申请执行人认为第三人的行为影响了其债权的实现，且这种影响无法通过执行程序直接解决，那么申请执行人可能需要通过另案诉讼来维护自己的权益。但这种情况同样需要满足特定的法律条件。

3. 法律建议

   • 优先通过执行程序解决：在大多数情况下，申请执行人应当优先通过执行程序来寻求救济。执行程序具有强制性和高效性，能够更直接地实现申请执行人的债权。
   • 及时咨询专业律师：如果申请执行人对执行程序有疑问或遇到困难，或者认为存在上述特定情形需要另案诉讼，应当及时咨询专业律师。律师可以根据具体情况提供法律建议，帮助申请执行人制定合适的法律策略。
   • 关注执行进展和财产线索：在执行过程中，申请执行人应当密切关注执行进展和被执行人的财产线索。一旦发现被执行人有新的财产或行为可能影响债权的实现，应当及时向法院报告并采取相应的法律措施。

总结：被执行人未按执行通知履行义务时，申请执行人一般不能直接另案诉讼。但存在特定情形下，如执行异议之诉、另案主张新权利或涉及第三人权益等，申请执行人可能需要通过另案诉讼来维护自己的权益。在处理此类问题时，建议申请执行人优先通过执行程序解决，并及时咨询专业律师以获取法律建议。