针对“雇佣司机肇事逃逸如何处理”这一问题，我会从民事赔偿、行政处罚、刑事责任以及处理流程与建议四个方面，为您进行详细且深入的解答。
一、民事赔偿方面
责任主体确定：
- 若司机在执行工作任务过程中肇事逃逸，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，由用人单位即公司承担侵权责任。公司承担责任后，若司机存在故意或重大过失，公司有权向其追偿。
- 若司机肇事逃逸为个人行为，如下班后私自驾车发生事故，则由司机个人承担民事赔偿责任，公司通常不承担责任。
赔偿范围：
- 赔偿范围包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住宿费、住院伙食补助费、必要营养费等。
- 若造成残疾，还需赔偿残疾赔偿金、辅助器具费、被扶养人生活费。
- 若导致死亡，则需赔偿丧葬费、死亡赔偿金等。
二、行政处罚方面
对司机的处罚：
- 肇事逃逸未构成犯罪的，依据《道路交通安全法》的相关规定，司机将面临200元以上2000元以下罚款，并可能并处15日以下拘留。
- 肇事逃逸构成犯罪的，依据《中华人民共和国刑法》的相关规定，司机将面临三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。同时，其机动车驾驶证将被吊销，且终生不得重新取得。
对公司的影响：
- 若公司对司机肇事逃逸存在管理过错，如缺乏交通安全培训、车辆维护不当等，公司可能受到警告、责令整改等行政处罚。
三、刑事责任方面
司机刑事责任：
- 如前所述，肇事逃逸构成犯罪的司机将依据《中华人民共和国刑法》的相关规定受到严厉惩处。
公司相关人员责任：
- 若公司相关负责人明知司机肇事逃逸而帮助其隐匿、毁灭证据等，可能涉嫌窝藏、包庇罪，依据《刑法》的相关规定，将面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制；情节严重的，处三年以上十年以下有期徒刑。
四、处理流程与建议
公安机关交通管理部门处理：
- 公安机关交通管理部门将根据当事人陈述、证人证言、现场痕迹等线索启动查缉预案，查获交通肇事逃逸车辆和司机，并依法进行处理。
公司应对：
- 公司应积极配合警方调查，提供必要信息，如司机信息、车辆信息、行车记录等。
- 公司应尽量弥补受害者损失，以减少法律风险，如先行垫付医疗费用等。
- 公司应加强内部管理，提高司机安全意识和责任感，包括定期交通安全培训、车辆维护检查等，以预防此类事件再次发生。
综上所述，雇佣司机肇事逃逸的处理方式需综合考虑民事赔偿、行政处罚和刑事责任等多个方面。公司应建立健全管理制度，预防此类事件发生，并在事件发生后积极应对，以减轻法律后果。希望这些解答能对您有所帮助。