结论：父母犯盗窃罪被罚款1000元，是否会留案底，取决于是否受到刑事处罚。若仅被罚款而未受到刑事处罚，则不会留案底；若因盗窃罪被判处刑罚（包括罚金刑作为主刑或附加刑的一部分），则会留案底。
分析说明：
案底的定义：
- 案底，通常指的是犯罪记录，即某人因犯罪行为受到刑事处罚后，在司法机关留下的记录。这种记录是永久性的，且对个人的社会评价、职业选择等可能产生长远影响。
盗窃罪的处罚：
- 盗窃罪的处罚根据犯罪情节的严重程度而定，可能包括有期徒刑、拘役、管制、罚金或没收财产等。其中，罚金可以单独适用，也可以与其他刑罚并处。
罚款与罚金、案底的关系：
- 罚款：通常指的是行政处罚中的一种，由行政机关对违反行政法规的行为人处以一定数额的金钱处罚。罚款不属于刑事处罚，因此不会留下案底。
- 罚金：是刑事处罚中的一种，属于附加刑，通常与主刑（如有期徒刑、拘役等）并处。罚金作为刑事处罚的一部分，会留下案底。
- 在您描述的情况中，父母因盗窃罪被罚款1000元。若这1000元是行政机关作出的行政处罚罚款，则不会留案底；若这1000元是法院作为罚金刑判处的，且该罚金刑是作为盗窃罪刑事处罚的一部分，则会留案底。但根据常规理解，盗窃罪的“罚款”若未明确说明为罚金，且未伴随其他刑事处罚，更可能指的是行政处罚中的罚款。然而，为准确判断，需查看具体的法律文书或处罚决定。
留案底的影响：
- 若父母因盗窃罪被判处刑罚并留下案底，这将对他们的社会评价、职业选择（如某些需要无犯罪记录证明的职业）、子女政审（如报考公务员、参军等）等产生不利影响。
建议与行动：
- 核实处罚性质：首先，需要核实父母所受的“罚款”是行政处罚还是刑事处罚中的罚金。这可以通过查看处罚决定书、法院判决书等法律文书来确认。
- 咨询法律专业人士：若对处罚性质有疑问或需要进一步了解留案底的具体影响，建议咨询法律专业人士，如律师或法律援助机构。
- 关注子女影响：若父母确实因盗窃罪被判处刑罚并留下案底，应关注这一记录对子女未来可能产生的影响，并提前做好规划和准备。
特殊场景：
- 若父母因盗窃罪被判处缓刑，虽然缓刑本身不直接等同于留案底，但缓刑的适用是基于犯罪事实的存在，且缓刑期间若违反规定或再次犯罪，可能面临实刑的执行，届时肯定会留案底。因此，缓刑也应视为一种有条件的刑事处罚，可能间接导致留案底的风险。
相关法规：
- 《中华人民共和国刑法》第三十二条：刑罚分为主刑和附加刑。主刑包括管制、拘役、有期徒刑、无期徒刑和死刑；附加刑包括罚金、剥夺政治权利和没收财产。
- 《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百八十六条：犯罪的时候不满十八周岁，被判处五年有期徒刑以下刑罚的，应当对相关犯罪记录予以封存。犯罪记录被封存的，不得向任何单位和个人提供，但司法机关为办案需要或者有关单位根据国家规定进行查询的除外。依法进行查询的单位，应当对被封存的犯罪记录的情况予以保密。（此条虽主要针对未成年人，但体现了犯罪记录管理的严肃性）