核心结论：镇聘请的村公卫员被辞退时，赔偿问题需根据其与镇政府之间的法律关系（劳动关系或劳务关系）以及辞退原因来综合判断，具体如下：
若村公卫员与镇政府构成劳动关系：
- 经济补偿：根据《劳动合同法》的规定，若镇政府因非劳动者过错（如经济性裁员、合同到期不续签等）辞退村公卫员，应支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 违法解除赔偿：若镇政府违法解除劳动合同（如无合法理由辞退、未履行法定程序等），村公卫员有权要求镇政府支付赔偿金，赔偿金为经济补偿标准的两倍。
- 代通知金：在特定情形下（如医疗期满后不能从事原工作、不能胜任工作等），若镇政府未提前三十日以书面形式通知劳动者本人而解除劳动合同，还需支付一个月工资作为代通知金。
若村公卫员与镇政府构成劳务关系：
- 合同约定优先：劳务关系下，双方的权利义务主要由劳务合同约定。若劳务合同中明确约定了辞退时的赔偿条款，应按照合同约定执行。
- 无约定时的处理：若劳务合同未约定辞退赔偿，且村公卫员在提供劳务过程中不存在过错，镇政府突然辞退可能构成违约，村公卫员有权要求镇政府承担违约责任，但具体赔偿金额需根据实际情况和公平原则由法院或仲裁机构裁定。
特别提醒：
- 村公卫员应首先确认自己与镇政府之间的法律关系，这通常取决于双方签订的合同性质、工作内容、管理方式等因素。
- 在处理辞退赔偿问题时，村公卫员应保留好相关证据（如劳动合同、劳务合同、工作记录、辞退通知等），以便在需要时维护自己的合法权益。
- 若对辞退赔偿问题存在争议，村公卫员可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或直接向人民法院提起诉讼。
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