在面临劳动中意外身亡这一不幸事件时，家属和用人单位需要遵循一系列法律程序来妥善处理相关事宜。以下是我为您提供的详细解答，旨在帮助您清晰了解应该找哪个部门以及如何处理此类事件。

一、首要步骤：向用人单位报告

作为与劳动者存在劳动关系的主体，用人单位有义务对员工在工作过程中的伤亡承担相应责任。因此，一旦发生劳动中意外身亡的情况，家属应首先向用人单位报告，并要求其立即采取救援措施，同时积极协助伤亡职工及其家属，如垫付医疗费用（如适用）、安排丧葬事宜等，并配合后续相关部门的调查和处理。

二、关键步骤：向社会保险行政部门申请工伤认定

1. 申请部门：用人单位应在事故伤害发生之日起30日内（特殊情况可适当延长）向当地人力资源和社会保障局（即社会保险行政部门）提出工伤认定申请。若用人单位未申请，工伤职工或其近亲属、工会组织可在1年内直接申请。

2. 提交材料：包括工伤认定申请表、劳动关系证明材料（如劳动合同、工作证等）、医疗诊断证明（如死亡证明、急救记录等）以及其他相关证据材料。

3. 作出决定：社会保险行政部门会在规定时间内（一般为60日内）审核材料，并作出工伤认定的决定。如果认定为工伤，将进入后续的工伤保险待遇支付流程。

三、特殊情况处理：联系劳动能力鉴定委员会

虽然工伤死亡一般无需进行劳动能力鉴定，但在某些特殊情况下，如需确定职工因工伤导致的其他劳动功能障碍程度和生活自理障碍程度（尽管在死亡案例中这通常不适用），可向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出申请。不过，在大多数工伤死亡案例中，这一步骤可以省略。

四、待遇支付：向工伤保险经办机构申请

在工伤认定完成后，家属或用人单位应向工伤保险经办机构提交工伤保险待遇申请材料。工伤保险经办机构将审核材料，并对于符合条件的申请，从工伤保险基金中支付相应的待遇，如丧葬补助金、一次性工亡补助金以及供养亲属抚恤金等。

五、纠纷解决：劳动人事争议仲裁机构或人民法院

如果工伤赔偿等问题无法通过协商解决，家属或用人单位可以先向劳动人事争议仲裁机构提出仲裁申请，并提交相关证据材料。若对仲裁裁决不服，可在规定时间内向人民法院提起诉讼，以维护自身的合法权益。

总结与建议：

在处理劳动中意外身亡事件时，我建议您按照以下步骤操作：首先向用人单位报告并要求其履行相应责任；其次及时向当地人力资源和社会保障局申请工伤认定并提交完整材料；根据需要联系劳动能力鉴定委员会进行特殊情况的鉴定（如适用）；然后向工伤保险经办机构申请工伤保险待遇；最后若遇到赔偿纠纷，先尝试通过协商或劳动仲裁解决，若无法解决则向人民法院提起诉讼。希望这些建议能帮助您妥善处理这一不幸事件。