结论前置：当劳动合同到期后，单位既没有通知续约也没有解除合同，而你继续在公司工作，这通常视为双方同意以原条件继续履行劳动合同，形成事实劳动关系。在此情况下，你有权要求单位续签书面合同，并在特定条件下可获得双倍工资补偿。若单位决定不续签，则需依法支付经济补偿。
法律层面详细分析：
事实劳动关系的认定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同到期后，如果你仍在原用人单位工作，且原用人单位未表示异议，那么双方之间就形成了事实上的劳动关系。这意味着，即使没有新的书面合同，你与公司之间的劳动关系依然有效，且应继续按照原合同的条款执行，包括工资、福利、工作时间等。
双倍工资的风险与权益：
- 自劳动合同期满之日起满一个月的次日至满一年的前一日，如果公司未与你签订新的书面劳动合同，根据《劳动合同法》第八十二条的规定，公司应当向你每月支付两倍的工资作为补偿。这一规定旨在保护劳动者的权益，防止用人单位利用合同到期不续签的方式规避法律责任。
- 如果这种情况持续满一年，那么自满一年的当日，视为你与公司已经订立了无固定期限的劳动合同，公司应当立即与你补订书面劳动合同。
经济补偿的支付：
- 若单位决定不续签劳动合同，且无法律规定的免责事由（如你存在严重违反公司规章制度等行为），则单位需按照你在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向你支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
具体应对措施与建议：
主动与公司沟通：
- 首先，建议你选择合适的时间与公司的人力资源部门或上级领导进行沟通，明确表达你希望续签劳动合同的意愿。同时，询问公司对于续签合同的安排和态度，以便了解公司的真实意图。
- 沟通时，尽量采用书面形式（如邮件、书面申请等），并保留好相关凭证。这样可以在后续可能发生的劳动纠纷中，作为证明你与公司存在劳动关系及你主动沟通的证据。
持续收集工作证据：
- 在等待公司回复的过程中，务必注意收集能够证明你与公司存在劳动关系的证据。这些证据对于后续可能发生的劳动纠纷至关重要，可以帮助你维护自己的合法权益。
- 证据包括但不限于工资支付记录（银行工资流水）、工作证、考勤记录、工作成果文件以及与同事或客户的业务往来邮件等。这些证据可以证明你仍在为公司提供劳动，且公司未与你解除劳动关系。
考虑法律途径维权：
- 如果与公司沟通后，公司仍拒绝续签劳动合同或拖延不处理，并且你在合同到期一个月后仍未得到双倍工资补偿，那么你可以考虑向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 在申请仲裁前，请确保已准备好充分的证据材料，并撰写好仲裁申请书，明确你的仲裁请求，如要求公司支付双倍工资差额、签订无固定期限劳动合同或支付经济补偿等。
保持理性与冷静：
- 在整个过程中，保持理性和冷静至关重要。通过合法、合理的方式维护自己的权益，避免采取过激行为或言辞，以免影响你的职业声誉和未来的职业发展。
特殊情况说明：
- 如果合同到期时，你正处于医疗期、孕期、产期或哺乳期等特殊期间，即使合同到期，单位也不能直接辞退你，而应顺延合同至相应期间届满。若单位在此期间辞退你，则构成违法辞退，你有权要求单位支付赔偿金。
法律依据：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条：用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。用人单位违反本法规定不与劳动者订立无固定期限劳动合同的，自应当订立无固定期限劳动合同之日起向劳动者每月支付二倍的工资。
- 《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
综上所述，当劳动合同到期后公司既未续签也未解雇你时，你应了解并行使自己的合法权益。通过主动与公司沟通、持续收集证据以及必要时考虑法律途径维权，你可以有效地保护自己的劳动权益不受侵害。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。