结论：公司允许员工带孩子上班，孩子受伤后的责任归属需根据具体情况判断，可能涉及公司责任、员工自身责任或第三方责任。以下从不同角度详细分析：
1. 公司责任角度
- 安全保障义务：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条，公司作为经营场所的管理人，对进入其场所的人员（包括员工家属或孩子）负有安全保障义务。若公司未尽到合理范围内的安全保障义务（如地面湿滑未清理、设施存在安全隐患等），导致孩子受伤，公司需承担相应赔偿责任。
- 允许行为的性质：若公司明确允许员工带孩子上班（如通过书面通知、口头允许等），可视为公司自愿承担对孩子的一定安全保障责任。此时，公司需对因自身过错导致的孩子受伤承担责任。
2. 员工自身责任角度
- 监护职责：根据《中华人民共和国民法典》第二十七条、第三十四条，父母是未成年子女的监护人，对子女负有抚养、教育和保护的义务。若员工带孩子上班时，未尽到监护职责（如放任孩子独自玩耍、未及时制止危险行为等），导致孩子受伤，员工需自行承担责任。
- 过错相抵原则：若孩子受伤是因公司过错和员工未尽监护职责共同导致，可根据双方过错程度分担责任。例如，公司地面湿滑未清理，员工未看管好孩子，双方均需承担部分责任。
3. 第三方责任角度
- 第三方侵权：若孩子受伤是因第三方（如其他员工、客户、外来人员等）的侵权行为导致（如故意推搡、碰撞等），由第三方承担赔偿责任。公司若未尽到安全保障义务（如未及时制止侵权行为），可能需承担补充责任。
4. 特殊情况分析
- 公司明确禁止带孩子上班：若公司明确禁止员工带孩子上班，员工仍擅自携带，且公司已尽到合理劝阻义务，孩子受伤时公司可能无需承担责任，责任由员工自行承担。
- 孩子年龄因素：若孩子为无民事行为能力人（如8周岁以下），员工需承担更严格的监护职责；若孩子为限制民事行为能力人（如8-18周岁），可适当减轻员工责任，但员工仍需承担主要监护职责。
法律建议
公司层面：
- 明确是否允许员工带孩子上班，并通过规章制度或书面通知告知员工。
- 若允许，需加强安全管理（如设置儿童活动区、安排专人看护等），尽到安全保障义务。
- 若禁止，需在员工入职时明确告知，并在员工携带孩子时及时劝阻。
员工层面：
- 若公司允许，仍需尽到监护职责，避免让孩子处于危险环境中。
- 若公司禁止，不要擅自携带孩子上班，以免发生意外时承担主要责任。
- 孩子受伤后，及时保留证据（如现场照片、监控录像、医疗记录等），以便后续维权。
争议解决：
- 若双方对责任归属有争议，可先协商解决；协商不成，可向劳动争议调解组织申请调解，或直接向人民法院提起诉讼。
总结：公司允许员工带孩子上班时，孩子受伤的责任归属需结合公司是否尽到安全保障义务、员工是否尽到监护职责、第三方是否存在侵权行为等因素综合判断。建议公司和员工均明确自身权利义务，加强安全管理，避免类似纠纷发生。如有具体问题，可直接向我咨询。