面对区政府和村委会之间相互推诿、不给办事的情况，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
明确责任主体与诉求：
- 首先，您需要明确自己需要办理的具体事项，以及该事项应当由哪个部门（区政府还是村委会）负责。这有助于您更精准地定位问题，避免在多个部门之间来回奔波。
- 同时，整理好相关证据材料，如申请书、证明文件等，以便在后续沟通或投诉时提供有力支持。
尝试内部沟通与协调：
- 在正式采取法律手段之前，您可以先尝试与区政府和村委会进行内部沟通，了解他们不给办事的具体原因，并寻求解决方案。
- 可以要求相关部门出具书面说明，明确拒绝办理的理由和依据，以便您进一步评估问题的性质和严重程度。
向上级部门投诉或举报：
- 如果内部沟通无果，您可以考虑向区政府的上级部门（如市政府）或相关监管部门（如民政部门、监察部门）进行投诉或举报。
- 在投诉时，详细陈述事情经过、提供相关证据材料，并明确要求上级部门介入调查并给出处理意见。
寻求法律援助或提起行政诉讼：
- 如果上述途径均无法解决问题，您可以考虑寻求法律援助，咨询专业律师（如我）的意见，了解自己的法律权益和可行的维权途径。
- 在必要时，您可以向法院提起行政诉讼，要求法院判决区政府或村委会履行法定职责或承担相应法律责任。在提起行政诉讼前，请确保您已经收集了充分的证据来支持您的诉求。
利用媒体与公众监督：
- 在某些情况下，通过媒体曝光或利用公众监督的力量也可能促使相关部门积极解决问题。但请注意，在采取这一步骤时，应确保所发布的信息真实、准确，避免侵犯他人合法权益或造成不良社会影响。
法律背景与建议：
- 根据《中华人民共和国行政诉讼法》等相关法律法规，公民、法人或其他组织认为行政机关和行政机关工作人员的行政行为侵犯其合法权益的，有权依照本法向人民法院提起诉讼。
- 在维权过程中，请务必保持冷静和理性，避免采取过激行为或言语攻击，以免加剧矛盾或给自己带来不必要的麻烦。
- 同时，建议您在维权过程中注意保护个人隐私和信息安全，避免泄露敏感信息或遭受不必要的骚扰。
可能面临的法律后果：
- 如果您通过合法途径维权并成功获得法院支持，区政府或村委会可能需要承担相应的法律责任，如履行法定职责、赔偿损失等。
- 如果您在维权过程中存在违法行为或侵犯他人合法权益的行为，您也可能需要承担相应的法律责任。
最后，面对区政府和村委会之间的推诿现象，您不必过于焦虑或无助。通过明确责任主体、尝试内部沟通、向上级部门投诉、寻求法律援助或提起行政诉讼等途径，您完全有能力维护自己的合法权益。如果您在此过程中遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。