当居民在维护自身权益时遇到相关部门踢皮球的情况，可以采取以下措施来应对：
明确投诉与求助渠道：
- 首先，要清楚了解各个政府部门的职责范围，确保你的投诉或求助是针对正确的部门。例如，如果是环境污染问题，应向环保部门投诉；如果是消费纠纷，可以向市场监管部门或消费者协会求助。
- 如果不确定应该向哪个部门投诉，可以拨打当地的政务服务热线（如12345）进行咨询，他们会根据你的问题指引你到正确的部门。
保留证据，详细记录：
- 在与相关部门沟通的过程中，务必保留好所有的沟通记录，包括电话录音、邮件、短信、书面回复等。
- 详细记录每次沟通的时间、地点、参与人员、沟通内容以及对方的回复或承诺。这些证据在后续维权过程中将起到关键作用。
向上级部门或监督机构反映：
- 如果下级部门对你的问题置之不理或推诿扯皮，你可以尝试向上级部门反映情况。上级部门通常有更严格的监督和管理职责，可能会对你的问题给予更多关注。
- 同时，你也可以向相关的监督机构（如纪委监委、政府督查室等）投诉，这些机构专门负责监督政府部门的行政行为，可能会对你的问题展开调查并督促相关部门处理。
利用法律途径维权：
- 如果通过上述途径仍然无法解决问题，你可以考虑通过法律途径来维护自己的权益。例如，你可以向法院提起行政诉讼，要求相关部门履行其法定职责。
- 在提起诉讼前，建议你先咨询专业律师（比如我，王延怡律师，专注于多个法律领域，包括侵权损害等），了解你的案件是否具备起诉条件、胜诉可能性以及可能面临的法律风险。
借助媒体与公众力量：
- 在某些情况下，通过媒体曝光或社交媒体发声也可能促使相关部门重视你的问题。但需要注意的是，这种方式应谨慎使用，确保你的言论真实、客观，避免侵犯他人权益或引发不必要的法律纠纷。
- 同时，你也可以尝试联系当地的公益组织或志愿者团体，他们可能能提供一些帮助或建议。
在应对过程中，需要注意以下几点：
- 保持冷静与理性：面对踢皮球的情况，很容易产生情绪化的反应。但保持冷静与理性是解决问题的关键。只有冷静地分析问题、寻找解决方案，才能更有效地维护自己的权益。
- 持续跟进与反馈：不要因为一次沟通无果就放弃维权。持续跟进你的投诉或求助，定期向相关部门询问处理进度，并给予反馈。你的坚持可能会促使相关部门更加重视你的问题。
- 了解相关法律法规：在维权过程中，了解相关的法律法规是非常重要的。这不仅能帮助你更好地理解自己的权益和义务，还能在沟通或诉讼过程中提供有力的法律支持。
最后，我想强调的是，维权是一个复杂且可能漫长的过程。但只要你坚持下去，合理运用上述措施，就有可能成功维护自己的权益。如果你在这个过程中遇到任何法律问题或困惑，都可以直接向我咨询。