结论：在原公司辞职合同未完成的情况下，是否可以签新公司，需根据具体情况来判断，主要取决于原劳动合同的履行状态、是否已解除劳动关系以及新劳动合同的签订条件等因素。以下从不同角度为你详细分析：
一、原劳动合同未到期且未解除的情况
法律背景：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在同一时间内一般只能与一个用人单位建立劳动关系。如果原劳动合同尚未到期且未解除，劳动者又与新用人单位签订劳动合同，可能构成双重劳动关系，这在法律上是不被鼓励的，且可能引发一系列法律问题，如原用人单位可能要求劳动者承担违约责任，新用人单位也可能因劳动者与原用人单位的劳动关系未解除而面临法律风险。
法律建议：
- 在此情况下，建议先与原用人单位协商解除劳动合同，确保劳动关系已经合法终止。如果原用人单位不同意解除劳动合同，劳动者可以依据《劳动合同法》的相关规定，提前三十日以书面形式通知原用人单位解除劳动合同（在试用期内则提前三日通知）。
- 在确保原劳动关系已经解除后，再与新用人单位签订劳动合同，以避免法律风险。
二、原劳动合同已到期或已合法解除的情况
法律背景：
- 如果原劳动合同已经到期或者已经通过合法方式（如协商一致、提前通知等）解除，那么劳动者与原用人单位之间的劳动关系已经终止。此时，劳动者有权与新用人单位签订劳动合同，建立新的劳动关系。
法律建议：
- 在此情况下，劳动者可以放心地与新用人单位签订劳动合同。但为了确保自身权益，建议在签订新劳动合同前，仔细阅读合同条款，特别是关于工作内容、工作地点、工作时间、薪酬待遇、社会保险等方面的约定，确保合同内容合法、合理且符合自身期望。
- 同时，保留好与原用人单位解除劳动关系的证明文件（如解除劳动合同通知书、离职证明等），以备新用人单位查验或未来可能出现的法律纠纷之需。
三、特殊情况下的考虑
非全日制用工：
- 如果劳动者在原用人单位从事的是非全日制工作，且不影响新劳动合同的履行，那么根据《劳动合同法》的规定，劳动者可以与一个以上用人单位订立劳动合同。但这种情况下，劳动者需要确保自己能够合理安排工作时间，避免因同时履行多个劳动合同而损害任一用人单位的利益。
竞业限制与保密义务：
- 如果原劳动合同中包含了竞业限制或保密义务等条款，劳动者在签订新劳动合同时需要特别注意。竞业限制条款可能限制劳动者在一定期限内不得在与原用人单位有竞争关系的其他用人单位工作；保密义务则要求劳动者对原用人单位的商业秘密等敏感信息予以保密。如果违反这些条款，劳动者可能需要承担法律责任。
后续行动建议：
- 在决定签订新劳动合同前，先确认原劳动合同的履行状态及是否已合法解除。
- 仔细阅读新劳动合同的条款，确保合同内容合法、合理且符合自身期望。
- 如有需要，可以咨询专业律师或法律机构，以获取更具体的法律建议和指导。
可能法律后果：
- 如果未解除原劳动关系就签订新劳动合同，可能面临原用人单位的违约责任追究以及新用人单位的法律风险。
- 如果违反竞业限制或保密义务等条款，可能需要承担法律责任，包括赔偿损失等。
希望以上分析能对你有所帮助。如果你还有其他法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。