结论：能否开具离职证明，关键在于能否证明你与实际用人单位之间存在劳动关系，即便没有签订书面合同且银行工资流水与用人单位名称不一致，也并不意味着无法开具离职证明。
劳动关系认定
未签书面合同：根据《劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当订立书面劳动合同。但未签订书面合同，并不影响劳动关系的实际存在。你可以通过其他证据来证明与用人单位之间的劳动关系，如工作证、考勤记录、同事证言、工作邮件、微信聊天记录等。
银行工资流水与用人单位名称不一致：这种情况可能由于用人单位使用第三方支付平台、关联公司账户或个人账户发放工资等原因造成。这并不直接否定你与用人单位之间的劳动关系。你可以通过提供其他证据，如工资条（如果有的话）、用人单位的财务记录、税务申报记录等，来证明工资的实际发放方是用人单位。
离职证明开具
用人单位的义务：根据《劳动合同法》的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。这是用人单位的法定义务，无论是否签订书面合同，都应当履行。
证明劳动关系的存在：为了开具离职证明，你首先需要证明与用人单位之间存在劳动关系。如前所述，你可以通过提供工作证、考勤记录、同事证言、工作邮件、微信聊天记录等证据来证明。如果用人单位否认劳动关系的存在，你可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求确认劳动关系。
申请劳动仲裁或诉讼：如果用人单位拒绝开具离职证明，你可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位履行开具离职证明的义务。如果仲裁结果不满意，你还可以向人民法院提起诉讼。
实际操作建议
收集证据：尽可能收集能够证明你与用人单位之间存在劳动关系的证据，包括但不限于工作证、考勤记录、同事证言、工作邮件、微信聊天记录、工资条（如果有的话）等。
与用人单位协商：在收集到足够证据后，你可以尝试与用人单位协商，要求其开具离职证明。如果用人单位同意，问题就得到了解决。
申请劳动仲裁或诉讼：如果用人单位拒绝开具离职证明，你可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求确认劳动关系并开具离职证明。如果仲裁结果不满意，你还可以向人民法院提起诉讼。
最后，遇到此类问题，不要慌张，通过合理合法的途径来维护自己的权益。如果你在此过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会尽我所能为你提供帮助。