招标评审专家费的发票应由实际支付该费用的单位或个人开具。关于是否需要合同，这主要取决于支付方与专家之间的约定以及具体的业务操作模式，以下分情况说明：

1. 如果支付方与专家之间有书面合同或协议：

   • 在这种情况下，合同或协议中通常会明确约定费用的支付方式、金额以及发票的开具等事项。
   • 按照合同或协议的约定，支付方在支付专家费后，有权要求专家或专家指定的单位开具相应金额的发票。
   • 如果专家无法直接开具发票，支付方可能需要与专家协商，由专家通过其所在单位或其他合法途径开具发票。

2. 如果支付方与专家之间没有书面合同或协议：

   • 在没有书面约定的情况下，支付方在支付专家费时，仍然应当要求专家或相关单位开具发票，以确保费用的合法性和可追溯性。
   • 支付方可以与专家口头协商发票的开具事宜，并在支付时明确告知专家需要开具发票的要求。
   • 为了避免后续纠纷，支付方最好在支付前与专家就发票的开具达成一致意见，并尽可能保留相关证据（如聊天记录、邮件等）。

额外建议：

• 无论是否有书面合同或协议，支付方在支付招标评审专家费时，都应当确保费用的支付符合相关法律法规的规定，如个人所得税的代扣代缴等。
• 如果支付方对发票的开具或费用的支付存在疑问，建议及时咨询专业律师或相关税务部门，以确保操作的合法性和合规性。

在实际操作中，为了确保双方的权益，建议支付方与专家在合作初期就明确约定费用的支付方式、金额以及发票的开具等事项，并尽可能签订书面合同或协议。这样可以在后续的合作过程中减少纠纷和风险。如果您在招标评审专家费的支付或发票开具方面遇到任何问题，可以直接向我咨询。