关于开除员工通知工会的补充法律规定，主要涉及《劳动合同法》及相关司法解释，核心要点如下：

1. 通知工会的法定义务
   根据《劳动合同法》第四十三条，用人单位单方解除劳动合同（包括开除员工），应当事先将理由通知工会。若用人单位未设立工会，需通过向上级工会沟通或向当地工会组织报备的方式履行告知义务。这是法定程序，未履行可能导致解除行为被认定为违法。

2. 通知工会的具体要求

   • 时间节点：通知需在作出解除决定前完成，而非事后补办。若用人单位先解除员工后通知工会，可能被认定为程序违法。
     
   • 内容要求：通知应包含解除理由、事实依据及法律依据，确保工会能充分了解情况并发表意见。
     
   • 工会反馈处理：若工会提出异议，用人单位需复核理由，若异议成立应撤销解除决定；若异议不成立，需保留书面沟通记录以备仲裁或诉讼时使用。

3. 未通知工会的法律后果

   • 程序违法导致解除无效：根据《劳动合同法》第四十八条，员工可要求继续履行合同或主张赔偿金（按经济补偿标准的二倍计算）。
     
   • 举证责任倒置：若用人单位未履行通知义务，在劳动仲裁中需承担举证不能的不利后果，即默认解除程序违法。

4. 特殊情形处理

   • 紧急解除（如严重违纪）：即使情况紧急，用人单位也需事后补办通知程序，并在仲裁或诉讼中说明紧急性的合理性。
     
   • 工会未回复或拖延：若工会未在合理期限内回复，用人单位可留存通知证据（如邮寄凭证、签字回执）后继续解除程序，但需确保通知已实际送达工会。

实务建议：

• 完善解除流程：在员工手册或规章制度中明确“通知工会”的具体流程（如通知方式、反馈期限），并要求工会签字确认收到通知。
  
• 保留书面证据：通过EMS邮寄通知时，备注文件名称并留存邮寄凭证；若当面送达，需工会人员签字确认。
  
• 关注地方性规定：部分地区（如江苏、浙江）对通知工会的细节有补充规定（如通知期限、工会异议处理方式），需结合当地司法实践操作。

示例：
某公司以员工严重失职为由开除，但未通知工会。员工申请仲裁后，公司虽提供失职证据，但因未履行通知义务被判支付赔偿金（月工资×2×工作年限）。若公司能在解除前补办通知程序，或事后补正并证明工会无异议，则可能避免赔偿。

如有具体案情或地方政策疑问，可直接向我咨询，我会结合细节进一步分析。