结论前置：公司在开除员工时，必须严格遵守《劳动法》及《劳动合同法》的相关规定，确保开除行为的合法性和合理性。根据具体情形，公司可能需要支付经济补偿或面临违法开除的赔偿责任。以下是从不同角度对这一问题的详细分析：

一、合法开除的情形及经济补偿

1. 无需支付经济补偿的合法开除：

   • 试用期不符合录用条件：公司需明确规定录用条件，并书面告知员工。同时，公司需有证据证明员工在试用期间不符合这些条件。
   • 严重违反规章制度：公司的规章制度需合法制定，经过民主程序，并向员工公示。员工的行为需达到“严重”程度，如多次旷工、严重失职、营私舞弊等，且给公司造成重大损害。
   • 被依法追究刑事责任：员工因违法行为被依法追究刑事责任，如被人民法院判处刑罚或被免予起诉、刑事处分等。
   • 同时与其他单位建立劳动关系：员工同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经公司提出，拒不改正。
   • 劳动合同无效：因员工欺诈、胁迫手段或乘人之危导致劳动合同无效。

2. 需支付经济补偿的合法开除：

   • 患病或非因工负伤：员工在医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由公司另行安排的工作。
   • 不能胜任工作：员工不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作。
   • 客观情况发生重大变化：如企业迁移、被兼并等，导致劳动合同无法履行，且协商未能就变更合同内容达成协议。

经济补偿标准：

• 经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资。
• 六个月以上不满一年的，按一年计算。
• 不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
• 月工资是指员工在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。若员工月工资高于所在地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。

计算公式：

• 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资（或职工月平均工资三倍的数额，以较低者为准，且最高不超过十二年）

二、开除的限制条件

公司不得随意开除以下员工，否则可能构成违法开除：

• 患职业病或因工负伤员工：在本单位患职业病或因工负伤并被确认丧失或部分丧失劳动能力的。
• 医疗期内员工：患病或非因工负伤，在规定的医疗期内的。
• 特殊时期女职工：在孕期、产期、哺乳期的。

三、违法开除的后果

若公司不符合法定开除情形而开除员工，属于违法解除劳动合同。员工有权要求继续履行劳动合同，或要求公司按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。

赔偿金计算公式：

• 赔偿金 = 经济补偿金 × 2

四、实际操作建议

1. 完善规章制度：公司应制定合法、合理的规章制度，并经过民主程序，向员工公示。规章制度中应明确录用条件、考核标准、违纪行为及处理措施等。
2. 保留证据：公司在开除员工时，应保留相关证据，如员工不符合录用条件的证明、严重违反规章制度的记录、医疗期满的证明等。
3. 通知工会：公司在开除员工前，应通知工会（如有），并听取工会的意见。
4. 支付经济补偿：若公司需支付经济补偿，应按照法律规定及时支付，避免引发劳动纠纷。

五、争议解决途径

若员工对开除行为或经济补偿有异议，可以通过以下途径解决争议：

• 向劳动行政部门投诉：可向当地人力资源和社会保障局或其下属的劳动监察大队投诉。
• 申请劳动仲裁：向劳动争议仲裁委员会提交书面仲裁申请及相关证据材料，要求支付赔偿金等。
• 提起诉讼：对仲裁结果不满意时，可向人民法院提起诉讼，进一步维护合法权益。

综上所述，公司在开除员工时，应严格遵守法律规定，确保开除行为的合法性。同时，加强内部管理，完善规章制度，明确员工权利和义务，以减少劳动纠纷的发生。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。