结论：生父死亡后，婚生子及直系亲属在法律上一般有权拒绝与私生子进行亲缘鉴定，但这一权利并非绝对，需根据具体情况和法律规定来综合判断。以下是对此问题的详细分析：
一、法律权利与义务的角度
个人隐私权与身体权：
- 婚生子及直系亲属作为独立的个体，享有个人隐私权和身体权。这意味着他们有权决定是否进行亲缘鉴定，以及是否允许他人获取其生物样本（如血液、毛发等）用于鉴定。
- 除非法律另有规定或存在特殊情况（如涉及刑事案件、继承纠纷等），否则任何人不得强迫他人进行亲缘鉴定。
法律义务与责任：
- 在一般情况下，婚生子及直系亲属没有法律义务必须与私生子进行亲缘鉴定。
- 如果私生子提出亲缘鉴定的请求，且该请求与婚生子及直系亲属的合法权益无关，那么他们有权拒绝。
二、特殊情况下的法律考量
继承纠纷：
- 如果生父死亡后留下遗产，且私生子主张继承权，那么亲缘鉴定可能成为确定继承权的关键证据。
- 在这种情况下，如果婚生子及直系亲属拒绝进行亲缘鉴定，可能会影响遗产的分配和继承权的确定。但即便如此，他们仍然有权拒绝，除非法院根据相关法律规定和案件具体情况，认为有必要进行强制鉴定。
其他法律纠纷：
- 如果亲缘鉴定涉及其他法律纠纷（如赡养费、抚养权等），那么婚生子及直系亲属的拒绝权可能会受到一定限制。
- 在这些情况下，法院会根据案件的具体情况和法律规定，来平衡各方当事人的权益，并作出相应的裁决。
三、实际操作中的建议
沟通协商：
- 在可能的情况下，婚生子及直系亲属可以与私生子进行沟通协商，了解对方提出亲缘鉴定的具体原因和目的。
- 通过沟通协商，双方可以寻求达成共识或找到其他解决方案，以避免不必要的法律纠纷。
寻求法律帮助：
- 如果婚生子及直系亲属对亲缘鉴定的问题存在疑虑或担忧，可以寻求专业律师的法律帮助。
- 律师可以根据具体情况和法律规定，为婚生子及直系亲属提供法律建议和指导，帮助他们维护自己的合法权益。
尊重法律程序：
- 如果亲缘鉴定的问题最终需要通过法律程序来解决，那么婚生子及直系亲属应该尊重法律程序，配合法院的调查和裁决。
- 在法律程序中，他们有权提出自己的主张和证据，以维护自己的合法权益。
总结与启示：生父死亡后，婚生子及直系亲属在法律上一般有权拒绝与私生子进行亲缘鉴定。但这一权利并非绝对，需根据具体情况和法律规定来综合判断。在处理此类问题时，建议双方保持冷静和理性，通过沟通协商或寻求法律帮助来解决问题。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。