私生子在父亲去世且家人不同意的情况下，无法直接申请强制进行亲子鉴定，但可以通过诉讼程序由法院裁定。具体分析如下：

一. 亲子鉴定的自主性与强制性

• 亲子鉴定通常基于双方自愿的原则进行，法律并未规定可以强制要求进行亲子鉴定。
• 但在特定情况下，如涉及继承权、抚养权等法律纠纷，亲子关系的确认可能成为案件的关键。

二. 诉讼程序中的亲子鉴定

• 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十三条，对亲子关系有异议且有正当理由的，可以向人民法院提起诉讼，请求确认或否认亲子关系。
• 在诉讼过程中，若一方提出亲子鉴定的申请，并提供了必要证据，而另一方无正当理由拒绝配合，法院有权根据已有证据和法律规定，对亲子关系作出认定。

三. 私生子的权利与诉讼

• 私生子作为潜在的法定继承人，有权了解自己的身世，并在必要时通过法律途径确认亲子关系。
• 若家人不同意进行亲子鉴定，私生子可以依法向人民法院提起诉讼，请求确认与已故父亲的亲子关系。在诉讼中，法院将综合考虑各方证据和情况，作出是否进行亲子鉴定的裁定。

四. 实际应用中的考量

• 在实际操作中，私生子需要收集并提供尽可能多的证据来支持自己的主张，如父亲的生前言行、遗书、遗物等。
• 同时，私生子也需要考虑诉讼的成本、时间以及可能带来的家庭纷争等因素，做出理性的决策。

我的观点：虽然私生子无法直接申请强制进行亲子鉴定，但通过诉讼程序，可以在法律框架内寻求亲子关系的确认。建议私生子在决定采取法律行动前，充分咨询专业律师，评估诉讼的可行性和风险。如有进一步需要，您可以继续咨询我。