核心结论：在父亲去世的情况下，私生子若想进行亲子鉴定，通常需要通过法律程序，由法院委托鉴定机构进行，具体分以下情况说明。

1. 协商一致进行鉴定
   若父亲的其他法定继承人（如配偶、其他子女等）均同意进行亲子鉴定，各方可以共同协商，选择一家有资质的司法鉴定机构，并共同签署委托鉴定协议。在此过程中，需要提供父亲的生前遗物（如带有毛囊的头发、牙刷、烟头等）或保存完好的组织样本（如存放在医院或殡仪馆的病理切片、骨灰等，但需注意骨灰因高温处理可能无法提取有效DNA），以及私生子的生物样本（如血液、口腔拭子等），由鉴定机构进行比对分析。

2. 通过法律程序进行鉴定
   若其他法定继承人不同意进行亲子鉴定，私生子可以向法院提起诉讼，主张自己与父亲存在亲子关系，并申请法院委托鉴定机构进行亲子鉴定。在此过程中，私生子需要提供初步证据证明自己与父亲可能存在亲子关系，如父亲生前承认私生子身份的书面材料、录音录像、证人证言等。法院将根据案件具体情况，决定是否准许鉴定申请。若法院准许，将委托有资质的司法鉴定机构进行鉴定，鉴定结果将作为法院裁判的重要依据。

特别提醒：

• 亲子鉴定涉及个人隐私和家庭关系，建议在处理过程中保持冷静和理性，尊重各方权益，避免激化矛盾。
  
• 若鉴定结果证明私生子与父亲存在亲子关系，私生子将依法享有继承权等法定权益；若鉴定结果否定亲子关系，私生子则可能无法主张相关权益。
  
• 在整个过程中，若遇到法律难题或需要专业指导，可直接向我咨询，我将根据具体情况提供详细解答。