私生子可以和父亲通过向人民法院提起诉讼的方式做亲子鉴定。具体分析如下：

一. 亲子鉴定的提起

• 根据《中华人民共和国民法典》第一千零七十三条，对亲子关系有异议且有正当理由的，父或者母可以向人民法院提起诉讼，请求确认或者否认亲子关系。同样，成年子女也可以向人民法院提起诉讼，请求确认亲子关系。

二. 亲子鉴定的实施

• 在诉讼过程中，若一方提出亲子鉴定的请求，并已提供必要证据予以证明，而另一方没有相反证据又拒绝做亲子鉴定的，人民法院可以依据相关证据认定亲子关系的主张是否成立。这一规定同样适用于私生子与父亲之间的亲子鉴定，具体流程参照《最高人民法院关于适用〈中华人民共和国民法典〉婚姻家庭编的解释（一）》第三十九条。

三. 亲子鉴定后的权利

• 一旦亲子关系得到确认，私生子将享有与婚生子女同等的权利，包括继承权等。这一点在《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条中得到了明确体现，该条规定了法定继承的顺序，其中子女包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女。

• 例如，如果张先生怀疑自己与李女士所生的孩子是自己的私生子，他可以通过向人民法院提起诉讼的方式请求确认亲子关系，并在诉讼过程中提出进行亲子鉴定的请求。如果鉴定结果证明孩子确实是张先生的亲生子女，那么孩子将享有与张先生其他婚生子女同等的权利，包括继承张先生的遗产等。

综上所述，私生子与父亲做亲子鉴定的方式主要是通过向人民法院提起诉讼，并在诉讼过程中提出亲子鉴定的请求。如有进一步需要，您可以继续咨询我。