结论：在父亲去世的情况下，法院在特定条件下可以要求其子女与私生子进行亲子鉴定，但这并非绝对，需根据具体情况和法律规定来判断。

分析说明：

1. 法律基础与原则：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，亲子关系的确立对于继承权的行使至关重要。在父亲去世后，若存在私生子主张继承权，而其他子女或相关利害关系人对私生子的身份提出质疑，法院有权介入调查以确认亲子关系。
   • 亲子鉴定是确认亲子关系的一种科学手段，但其进行需遵循自愿原则，并尊重当事人的隐私权和人格尊严。在父亲去世的情况下，若子女或私生子不同意进行亲子鉴定，法院不能强制进行，但可以通过其他证据来推断亲子关系。

2. 法院要求亲子鉴定的条件：

   • 存在合理怀疑：法院要求进行亲子鉴定，通常基于存在合理怀疑，即有其他证据或线索表明私生子与去世父亲之间可能存在亲子关系。
   • 保护未成年人利益：若私生子为未成年人，且其身份对继承权的行使有重大影响，法院在保护未成年人利益的前提下，可能会更倾向于要求进行亲子鉴定。
   • 当事人同意或法律另有规定：在当事人同意或法律另有规定的情况下，法院可以要求进行亲子鉴定。例如，若去世父亲在生前通过遗嘱或其他方式表达了愿意进行亲子鉴定的意愿，或者法律明确规定了在某些情况下必须进行亲子鉴定。

3. 实际操作中的考量：

   • 证据收集：在要求进行亲子鉴定前，法院会要求当事人提供其他证据来支持其主张，如出生证明、照片、视频、证人证言等。这些证据将作为法院判断是否需要进行亲子鉴定的依据。
   • 鉴定程序：若法院决定进行亲子鉴定，将遵循严格的鉴定程序，确保鉴定的科学性和公正性。鉴定机构将由法院指定或当事人协商确定，鉴定结果将作为法院判决的重要依据。
   • 法律后果：若亲子鉴定结果确认私生子与去世父亲之间存在亲子关系，私生子将享有相应的继承权。若鉴定结果否定亲子关系，私生子则可能无法继承去世父亲的财产。

特殊场景：

• 若去世父亲在生前已经通过遗嘱或其他方式明确了私生子的身份和继承权，且该遗嘱或方式符合法律规定，则可能无需进行亲子鉴定即可确认私生子的继承权。
• 若私生子在父亲去世后长时间未主张继承权，且其他子女或相关利害关系人未提出质疑，法院可能不会主动要求进行亲子鉴定。

建议与行动：

• 若您面临此类情况，建议首先收集相关证据来支持您的主张或反驳对方的主张。
• 您可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和策略，以便更好地维护自己的合法权益。
• 在处理此类纠纷时，请保持冷静和理性，避免情绪化的行为影响案件的进展和结果。

如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。