在行政机关不履行法定职责的案件中，举证责任原则上由原告（即认为行政机关未履行法定职责的公民、法人或其他组织）承担，但在特定情况下，举证责任会发生转移或由行政机关承担部分举证责任。以下是对这一问题的详细分析：
一、原告承担举证责任的一般原则
在行政诉讼中，原告通常需要承担举证责任，以证明其诉讼请求的合理性。当原告认为行政机关未履行法定职责时，原告需要提供证据证明：
- 其曾向行政机关提出过申请：这是启动行政机关履行职责程序的前提。原告需要提供书面申请、邮寄凭证、电子邮件等证据，以证明其已向行政机关提出了履行特定职责的请求。
- 行政机关具有相应的法定职责：原告需要证明行政机关根据法律、法规或规章的规定，具有履行特定职责的义务。这通常涉及对相关法律条文的解读和适用。
- 行政机关未履行或未完全履行法定职责：原告需要提供证据证明行政机关在收到其申请后，未采取任何行动或未完全履行其法定职责。这可能包括行政机关的书面回复、现场检查记录、行政处罚决定书等证据。
二、举证责任转移或由行政机关承担部分举证责任的特殊情况
被告应当依职权主动履行法定职责的情形：
- 在某些情况下，行政机关的法定职责是主动履行的，而不需要原告的申请。例如，行政机关在发现违法行为后，应当主动进行查处。在这种情况下，如果行政机关未履行职责，原告只需证明行政机关具有相应的法定职责和违法行为的存在，而行政机关则需要证明其已履行了职责或存在合法的不履行理由。
原告因正当理由不能提供证据的情形：
- 如果原告因正当理由（如不可抗力、行政机关的阻碍等）无法提供证据证明其曾向行政机关提出过申请，且行政机关否认收到申请的，此时举证责任可能会发生转移。根据《中华人民共和国行政诉讼法》及相关司法解释的规定，可以由行政机关证明其未收到申请或已履行了职责。但这一转移并非绝对，仍需根据具体案件情况来判断。
行政机关不履行或拖延履行法定职责的证明责任：
- 在行政机关不履行或拖延履行法定职责的案件中，如果原告能够提供初步证据证明行政机关存在不履行或拖延履行的行为，且行政机关无法提供相反证据证明其已履行或存在合法理由不履行的，此时可以认为行政机关未尽到其举证责任，应承担不利后果。
三、举证责任的具体应用与建议
原告应充分准备证据：
- 在提起行政诉讼前，原告应充分准备相关证据，包括申请材料、邮寄凭证、电子邮件、行政机关的回复等，以证明其已向行政机关提出过申请且行政机关未履行法定职责。
行政机关应积极应诉并提供证据：
- 行政机关在收到起诉状后，应积极应诉并提供相关证据证明其已履行了法定职责或存在合法的不履行理由。这有助于维护行政机关的公信力并促进案件的公正审理。
法院应依法分配举证责任：
- 法院在审理案件时，应根据案件的具体情况和相关法律法规的规定，依法分配举证责任。对于原告因正当理由不能提供证据的情形，法院应灵活处理并确保案件的公正审理。
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