在行政诉讼中，当面临行政机关不履行法定职责的情况时，举证是关键环节。以下将详细阐述被告（行政机关）不履行法定职责时，原告应如何举证，以及被告可能的反驳举证方向。
原告的举证责任及要点
证明提出申请的事实：
- 原告需提供确凿的证据，如申请书、邮寄凭证（包括快递单号、签收记录）、网上申请记录（如电子邮件发送时间、系统截图）或现场提交的录音录像、证人证言等，以证明其已向被告行政机关提出了具体、合法的申请或请求。
证明行政机关具有作为义务：
- 原告应引用相关法律、法规、规章或规范性文件，明确指出被告行政机关对其申请事项负有处理的法定职责。这要求原告对相关法律法规有深入的理解，并能准确阐述行政机关的作为义务。
证明与行政不作为存在利害关系：
- 原告需提供证据，如居住证明、噪音影响生活的照片、经济损失清单（附发票、合同等证据）、人身伤害的医疗诊断证明等，以证明其合法权益可能受到被告行政不作为的直接影响。
证明行政机关未在法定期限内作为：
- 原告应提交时间线证据，如查询行政程序系统中无处理记录的截图、超期未回复的书面证明（如挂号信退回记录）、向被告催告的书面材料（建议采用EMS并备注内容）等，以证明被告在其提出申请后的合理期限内（通常是法律规定的期限）未作出任何回应或处理。
提供其他相关证据：
- 原告还可以提供证人证言、专家意见、先例判决或类案处理结果等间接证据来支持其主张。这些证据应合法、真实，并与案件具有直接的关联性。
被告的反驳举证责任及要点
证明其已经履行法定职责：
- 被告需提供充分的证据，如审核记录、沟通文件、决定通知及送达凭证等，以证明其已针对原告的申请或依职权进行了相应的处理，并已将处理结果告知原告。
证明其不作为具有合法性：
- 被告应说明其不作为是基于法律规定、客观情况等合法理由。例如，因不可抗力因素（如自然灾害、政府紧急命令等）导致无法及时履行职责时，应提供相关灾害证明文件、上级部门通知等证据。
证明其行为符合法定程序：
- 即使被告最终作出的是不作为的决定，也需证明其在处理过程中遵循了法定程序。这可以通过提交内部审批流程记录、时间节点文件、听证会记录等证据来实现。
举证注意事项
- 及时固定证据：原告在提出申请后，应注意保存所有与申请相关的原始材料，避免证据灭失。
- 善用法律推定：根据《行政诉讼法》的规定，被告应主动提供其已履行职责的证据。若被告未能提供充分证据证明其已履行法定职责，则可能承担不利后果。
- 合理划分举证责任：原告需证明不作为的存在及其造成的损害；而被告则需证明不作为的合法性或已履行法定职责。
- 强化程序意识：原告应严格按照法律规定的期限和方式提出申请，并保留好相关证据，以避免因程序瑕疵影响举证效力。
综上所述，在行政诉讼中处理行政不作为的指控时，原告和被告均需承担各自的举证责任。原告应提供充分、合法、真实的证据来支持其主张；而被告则需通过反驳举证来证明其行为的合法性或已履行法定职责。法院将根据双方提供的证据进行审理，并依法作出公正裁决。