结论前置：原住户能否起诉邻居拆除在宅地基不动产周边搭建的厨房，以及法院是否会支持，这主要取决于搭建的厨房是否侵犯了原住户的合法权益，如土地使用权、相邻权等。以下从不同角度进行分析：
土地使用权角度：
- 如果邻居搭建的厨房占用了原住户的土地使用权范围，即未经原住户同意，在其土地上搭建建筑物，那么原住户有权基于土地使用权受到侵犯而起诉邻居，要求拆除厨房并恢复原状。
- 法院在审理此类案件时，会首先审查土地使用权的归属和范围，确认邻居的搭建行为是否超出了其土地使用权范围，从而判断原住户的诉求是否合理。
相邻权角度：
- 相邻权是指不动产的相邻各方在行使所有权或使用权时，因相互间依法应当给予方便或接受限制而发生的权利义务关系。如果邻居搭建的厨房对原住户的通风、采光、排水等造成了影响，侵犯了原住户的相邻权，原住户同样有权起诉邻居。
- 法院在审理时，会综合考虑搭建厨房对原住户生活的影响程度，以及是否超出了合理的容忍范围，从而作出判决。
规划与建设合规性角度：
- 如果邻居搭建的厨房未经相关部门批准，违反了城乡规划或建设管理的相关规定，那么原住户也可以基于公共利益或规划秩序受到破坏而起诉邻居。
- 法院在审理此类案件时，会审查搭建厨房是否取得了合法的建设许可，以及是否符合城乡规划的要求，从而判断原住户的诉求是否得到支持。
法律建议：
- 原住户在起诉前，应收集相关证据，如土地使用权证、相邻关系证明、搭建厨房的照片或视频等，以证明邻居的搭建行为侵犯了其合法权益。
- 原住户可以咨询专业律师，了解具体的法律程序和诉讼策略，以提高胜诉的几率。
- 在诉讼过程中，原住户应积极配合法院的调查和审理工作，提供真实、准确的证据和陈述。
可能的法律后果：
- 如果法院认定邻居的搭建行为侵犯了原住户的合法权益，那么可能会判决邻居拆除厨房并恢复原状，同时可能承担一定的赔偿责任。
- 如果法院认定邻居的搭建行为未侵犯原住户的合法权益，或者原住户未能提供充分的证据证明其诉求，那么可能会驳回原住户的诉讼请求。
综上所述，原住户能否起诉邻居拆除搭建的厨房以及法院是否会支持，取决于多种因素的综合考量。如果您有具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。