结论：私自搭建厨房在邻居不动产周边，邻居多年后起诉，法院是否支持排除，需视具体情况而定，但在多数情况下，若该搭建行为确实侵犯了邻居的合法权益，法院会支持排除妨害的请求。以下从不同角度进行分析：
一、法律背景与原则
物权保护原则：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，物权是权利人依法对特定的物享有直接支配和排他的权利。邻居作为不动产的合法权利人，其物权受法律保护，任何单位和个人不得侵犯。
相邻关系原则：相邻关系是指两个或两个以上相互毗邻不动产的所有人或使用人，在行使占有、使用、收益、处分权利时发生的权利义务关系。在处理相邻关系时，应遵循有利生产、方便生活、团结互助、公平合理的原则。私自搭建厨房可能违反这一原则，对邻居的正常生活造成影响。
二、具体情形分析
搭建行为是否构成侵权：
- 若私自搭建的厨房占用了邻居的土地或空间，或者其排放的油烟、噪音等对邻居的正常生活造成了实质性影响，则构成对邻居物权的侵犯。
- 若搭建行为未对邻居造成实质性影响，或者邻居在多年内未提出异议，但并不意味着该行为就合法或邻居就放弃了其权利。一旦邻居提出异议并起诉，法院仍需根据实际情况判断是否构成侵权。
诉讼时效问题：
- 根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。但诉讼时效期间自权利人知道或者应当知道权利受到损害以及义务人之日起计算。
- 在私自搭建厨房的情况下，若邻居在多年内确实不知情或无法行使权利，则诉讼时效可能尚未开始计算。因此，邻居多年后起诉并不一定因超过诉讼时效而被驳回。
法院的裁判标准：
- 法院在审理此类案件时，会综合考虑搭建行为的性质、对邻居的影响程度、双方当事人的过错程度以及社会公共利益等因素。
- 若法院认定搭建行为确实侵犯了邻居的合法权益，且该行为不具有合法性或合理性，则通常会支持邻居排除妨害的请求，即要求拆除私自搭建的厨房或采取其他补救措施。
三、法律建议
对于搭建者：
- 在搭建任何设施前，应确保获得相关部门的批准和邻居的同意，以避免潜在的法律纠纷。
- 若已私自搭建且可能对邻居造成影响，建议主动与邻居协商解决，如拆除、改建或给予适当补偿等。
对于邻居：
- 若发现邻居私自搭建厨房且可能对自己造成影响，应及时与搭建者沟通并表达异议。
- 若沟通无果或搭建者拒绝采取补救措施，可考虑向相关部门投诉或向法院起诉以维护自己的合法权益。
最后，私自搭建厨房在邻居不动产周边可能涉及复杂的法律问题，具体案件的处理需根据实际情况和法律规定进行综合判断。若您面临此类问题或有其他法律疑问，可直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。